Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

e isso é verdade já que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da
homogênea.
Aplicando a regra de Cramer temos
∣ 0 y 2
u ′ g y 2
′ ∣ gy
1 =
∣ y 1 y 2
= −
2
y 1 ′ y 2
′ ∣ ∣ y 1 y 2
y 1 ′ y 2
′ ∣
e
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∣ y 1 0
u ′ y 1
′ g ∣ gy
2 =
∣ y 1 y 2
=
1
y 1 ′ y 2
′ ∣ ∣ y 1 y 2
y 1 ′ y 2
′ ∣
∫
gy 2
u 1 = −
∣ y 1 y 2
y 1 ′ y 2
′ ∣
∫
gy 1
u 2 =
∣ y 1 y 2
y 1 ′ y 2
′ ∣
Exercício: Verifique que o resultado continua valendo para EDO’s lineares,
não necessariamente com coeficientes constantes.
Exemplo:
Vamos encontrar a solução geral de
A homogênea associada é
que tem solução
y ′′ + 4y = 3 csc t
y ′′ + 4y = 0
y h = a cos 2t + b sin 2t
Utilizando o método da variação dos parâmetros obtemos
cos 2t sin 2t
∣ −2 sin 2t 2 cos 2t ∣ = 2
∫
cos 2t
y p = −
2
3 csc t sin 2tdt +
sin 2t
2
∫
3 csc t cos 2tdt =
= −3 sin t cos 2t + 3 sin 2t cos t + 3 sin 2t ln |csc t − cot t|
2
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