Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

4.4 EDO’s Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes
Constantes: O Método da Variação dos Parâmetros
Nesta seção desenvovlvemos um método para obtermos soluções particulares.
Teorema: Se g é uma função contínua e se
{y 1 , y 2 }
é um conjunto fundamental de soluções de
y ′′ + by ′ + cy = 0
então
y p = −y 1
∫
gy 2
∣ y 1 y 2
y 1 ′ y 2
′
∫
+ y 2 ∣
gy 1
∣ y 1 y 2
y 1 ′ y 2
′
∣
é uma solução particular de
y ′′ + by ′ + cy = g (t)
temos
Prova:
Procurando uma solução particular do tipo
y p = u 1 y 1 + u 2 y 2
y ′ p = u 1 y ′ 1 + u 2 y ′ 2 + (u ′ 1y 1 + u ′ 2y 2 )
e por um motivo técnico vamos exigir que a parte entre parênteses seja nula.
Assim
Substituindo na equação obtemos
y p ′ = u 1 y 1 ′ + u 2 y 2
′
y p ′′ = u 1 y 1 ′′ + u ′ 1y 1 ′ + u 2 y 2 ′′ + u ′ 2y 2
′
u 1 (y ′′
1 + by ′ 1 + cy 1 ) + u 2 (y ′′
2 + by ′ 2 + cy 2 ) + u ′ 1y ′ 1 + u ′ 2y ′ 2 = g
e como as partes nos parênteses são nulas, já que y 1 e y 2 são soluções da homogênea,
temos { u
′
1 y 1 + u ′ 2y 2 = 0
u ′ 1y ′ 1 + u ′ 2y ′ 2 = g
Para o sistema acima ter solução basta que
∣ y 1 y 2
y 1 ′ y 2
′ ∣ ≠ 0
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