Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

temos
Como
e αi =
+∞∑
n=0
(αi) n
=
n!
Assim temos que
e x = 1 + x + 1 2! x2 + 1 3! x3 + .. + xn
n! + ...
+∞∑
n=0
(−1) n α 2n +∞
(2n)! + ∑
(−1) n α 2n+1
= cos α + i sin α
(2n + 1)!
n=0
y 1 = e λt e µti = e λt (cos µt + i sin µt)
y 1 = e λt e −µti = e λt (cos µt − i sin µt)
são soluções da EDO.
Como a EDO é linear sabemos que a soma das duas soluções e que a diferença
das duas soluções também são soluções:
y 3 = 2e λt cos µt
y 4 = 2ie λt sin µt
Novamente por ser linear, se multiplicarmos a primeira por 1 2 e a segunda
por 1 2i ainda teremos duas soluções, que voltaremos a chamar de y 1 e y 2
y 1 = e λt cos µt
y 2 = e λt sin µt
Provemos que as duas funções acima formam um conjunto fundamental de
soluções
W ( e λt cos µt, e λt sin µt ) =
e λt cos µt e λt sin µt
∣ λe λt cos µt − µe λt sin µt µe λt cos µt + λe λt sin µt ∣ =
= µe 2λt ≠ 0.
Exemplo:
Consideremos o PVI
⎧
⎨
⎩
16y ′′ − 8y ′ + 145y = 0
y (0) = −2
y ′ (0) = 1
Inicialmente vamos encontrar a solução geral da EDO. Para isso vamos calcular
as raízes da equação característica
16r 2 − 8r + 145 = 0 ⇔ r = 1 4 ± 3i
Assim
{e 1 4 t cos 3t, e 1 4 t sin 3t}
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