Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
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temos<br />
Como<br />
e αi =<br />
+∞∑<br />
n=0<br />
(αi) n<br />
=<br />
n!<br />
Assim temos que<br />
e x = 1 + x + 1 2! x2 + 1 3! x3 + .. + xn<br />
n! + ...<br />
+∞∑<br />
n=0<br />
(−1) n α 2n +∞<br />
(2n)! + ∑<br />
(−1) n α 2n+1<br />
= cos α + i sin α<br />
(2n + 1)!<br />
n=0<br />
y 1 = e λt e µti = e λt (cos µt + i sin µt)<br />
y 1 = e λt e −µti = e λt (cos µt − i sin µt)<br />
são soluções da EDO.<br />
Como a EDO é linear sabemos que a soma das duas soluções e que a diferença<br />
das duas soluções também são soluções:<br />
y 3 = 2e λt cos µt<br />
y 4 = 2ie λt sin µt<br />
Novamente por ser linear, se multiplicarmos a primeira por 1 2 e a segunda<br />
por 1 2i ainda teremos duas soluções, que voltaremos a chamar <strong>de</strong> y 1 e y 2<br />
y 1 = e λt cos µt<br />
y 2 = e λt sin µt<br />
Provemos que as duas funções acima formam um conjunto fundamental <strong>de</strong><br />
soluções<br />
W ( e λt cos µt, e λt sin µt ) =<br />
e λt cos µt e λt sin µt<br />
∣ λe λt cos µt − µe λt sin µt µe λt cos µt + λe λt sin µt ∣ =<br />
= µe 2λt ≠ 0.<br />
Exemplo:<br />
Consi<strong>de</strong>remos o PVI<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
16y ′′ − 8y ′ + 145y = 0<br />
y (0) = −2<br />
y ′ (0) = 1<br />
Inicialmente vamos encontrar a solução geral da EDO. Para isso vamos calcular<br />
as raízes da equação característica<br />
16r 2 − 8r + 145 = 0 ⇔ r = 1 4 ± 3i<br />
Assim<br />
{e 1 4 t cos 3t, e 1 4 t sin 3t}<br />
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