Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Logo a solução do PVI é
y = 13 2 e−2t − 9 2 e−3t
Suponhamos que a equação característica
ar 2 + br + c = 0
admita apenas uma raiz real. Neste caso
e tal raiz é dada por
Assim sabemos que
∆ = b 2 − 4ac = 0
r = − b
2a
y 1 = e − b
2a t
é uma solução.
Precisamos encontrar uma segunda solução para montarmos um conjunto
fundamental de soluções e então obtermos uma solução geral.
Um método muito usual em EDO’s é tentar encontrar uma solução da forma
Neste caso temos
Assim
y 2 = v (t) e − b
2a t
y ′ 2 = − b
2a ve− b
2a t + v ′ e − b
2a t
y ′′
2 = b2
4a 2 ve− b
2a t − b a v′ e − b
2a t + v ′′ e − b
2a t
y 2 é solução ⇔
( b
2
⇔ a
4a 2 ve− b
2a t − b ) (
a v′ e − b
2a t + v ′′ e − b
2a t + b − b
)
2a ve− b
2a t + v ′ e − b
2a t + ve − b
2a t = 0 ⇔
⇔ − ∆ 4a v + av′′ = 0 ⇔ v ′′ = 0
Assim
serve.
Logo
também é solução.
v (t) = t
y 2 = te − b
2a t
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