Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

As raízes da equação característica podem ser
ou 2 reais distintas
ou 1 real dupla
ou 1 par complexo conjugado
1 o CASO: 2 REAIS DISTINTAS
Sejam
r 1 , r 2
as raízes reais e distintas da equação característica.
Afirmamos que
{e r1t , e r2t }
formam um conjunto fundamental de soluções. De fato
W ( ∣
e r1t , e r2t) (t) =
∣ er1t e r2t ∣∣∣
r 1 e r1t r 2 e r2t = (r 2 − r 1 ) e (r1+r1)t ≠ 0.
Exemplo:
Consideremos o PVI
⎧
⎨
⎩
y ′′ + 5y ′ + 6y = 0
y (0) = 2
y ′ (0) = 1 2
Inicialmente vamos encontrar a solução geral da EDO. Para isso vamos calcular
as raízes da equação característica
Assim
r 2 + 5r + 6 = 0 ⇔ r = −2 ou r = −3
{e −2t , e −3t }
forma um conjunto fundamental de soluções e portanto a solução geral é
y G = ae −2t + be −3t
Usando as condições iniciais temos
{
a + b = 2
−2a − 3b = 1 2
e assim
a = 13 2 , b = −9 2
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