Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

e {
y ′′ + p (t) y ′ + q (t) y = 0
y (t 0 ) = 0, y ′ (t 0 ) = 1
denotadas respectivamente por φ e ψ são LI pois, como provamos c)⇒b), temos
W (φ, ψ) (t 0 ) =
∣ 1 0
0 1 ∣ = 1 ⇒ φ e ψ são LI
Exemplos:
1) y 1 = e t e y 2 = e −t formam um conjunto fundamental de soluções de
y ′′ − y = 0.
De fato, é trivial checarmos que y 1 e y 2 são soluções e como
∣ W (y 1 , y 2 ) (t) =
∣ et e −t ∣∣∣
e t −e −t = −2 ≠ 0
basta aplicarmos o teorema.
Assim a solução geral da equação é
y = ae t + be −t
Coloquemos uma condição inicial
{
y ′′ − y = 0
y (0) = 1, y ′ (0) = 0
Para encontrarmos a solução do PVI acima basta usarmos a solução geral e
as condições iniciais
y = ae t + be −t ⇒ 1 = a + b
y ′ = ae t − be −t ⇒ 0 = a − b
assim basta resolvermos o sistema
{ a + b = 1
a − b = 0
Portanto
a = b = 1 2
e a solução do PVI é
y = 1 2 et + 1 2 e−t = cosh t
46