Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
e {<br />
y ′′ + p (t) y ′ + q (t) y = 0<br />
y (t 0 ) = 0, y ′ (t 0 ) = 1<br />
<strong>de</strong>notadas respectivamente por φ e ψ são LI pois, como provamos c)⇒b), temos<br />
W (φ, ψ) (t 0 ) =<br />
∣ 1 0<br />
0 1 ∣ = 1 ⇒ φ e ψ são LI<br />
<br />
Exemplos:<br />
1) y 1 = e t e y 2 = e −t formam um conjunto fundamental <strong>de</strong> soluções <strong>de</strong><br />
y ′′ − y = 0.<br />
De fato, é trivial checarmos que y 1 e y 2 são soluções e como<br />
∣ W (y 1 , y 2 ) (t) =<br />
∣ et e −t ∣∣∣<br />
e t −e −t = −2 ≠ 0<br />
basta aplicarmos o teorema.<br />
Assim a solução geral da equação é<br />
y = ae t + be −t<br />
Coloquemos uma condição inicial<br />
{<br />
y ′′ − y = 0<br />
y (0) = 1, y ′ (0) = 0<br />
Para encontrarmos a solução do PVI acima basta usarmos a solução geral e<br />
as condições iniciais<br />
y = ae t + be −t ⇒ 1 = a + b<br />
y ′ = ae t − be −t ⇒ 0 = a − b<br />
assim basta resolvermos o sistema<br />
{ a + b = 1<br />
a − b = 0<br />
Portanto<br />
a = b = 1 2<br />
e a solução do PVI é<br />
y = 1 2 et + 1 2 e−t = cosh t<br />
46