Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Observe que φ é uma solução da EDO que satisfaz
φ (0) = φ ′ (0) = 0
e portanto, pelo teorema de existência e unicidade
φ ≡ 0.
Assim
e isso é uma contradição.
αy 1 + βy 2 = 0
c) ⇒ a)
Queremos provar que
{y 1 , y 2 }
é um conjunto fundamental de soluções.
Seja φ uma solução da EDO. Queremos encontrar α, β ∈ R tais que
φ = αy 1 + βy 2 .
Como
W (y 1 , y 2 ) (t 0 ) ≠ 0
o sistema {
y1 (t 0 ) α + y 2 (t 0 )β = φ (t 0 )
y ′ 1 (t 0 ) α + y ′ 2(t 0 )β = φ ′ (t 0 )
admite uma solução α, β.
Daí, αy 1 + βy 2 é uma solução e
(αy 1 + βy 2 ) (t 0 ) = φ (t 0 )
(αy 1 + βy 2 ) ′ (t 0 ) = φ ′ (t 0 )
O Teorema de Existência e Unicidade garante que
φ = αy 1 + βy 2 .
a) ⇒ b) :
Observe que
V = {y|y ′′ + p (t) y ′ + q (t) y = 0}
é um espaço vetorial.
A afirmação a) nos diz que as funções y 1 e y 2 geram V. Se tais funções não
fossem LI então a dimensão de V seria menor que 2. Assim qualquer conjunto
formado por duas soluções seria LD e isso não é verdade. De fato, observe que
as soluções de { y ′′ + p (t) y ′ + q (t) y = 0
y (t 0 ) = 1, y ′ (t 0 ) = 0
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