Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Dadas duas funções diferenciáveis f, g : I → R e t 0 ∈ I chamamos de
WRONSKIANO o determinante
W (f, g) (t 0 ) =
∣ f (t 0) g (t 0 )
f ′ (t 0 ) g ′ (t 0 ) ∣
Teorema (ABEL): Sejam y 1 e y 2 soluções de
y ′′ + p (t) y ′ + q (t) y = 0
onde p, q são funções contínuas em I ⊂ R. Temos:
a) Existe c ∈ R tal que
ou
b)
W (y 1 , y 2 ) (t) = ce − R p(t)dt .
W (y 1 , y 2 ) (t) ≠ 0, ∀t ∈ I
W (y 1 , y 2 ) (t) = 0, ∀t ∈ I.
Prova:
Como y 1 e y 2 são soluções da EDO temos
y 1 ′′ + p (t) y 1 ′ + q (t) y 1 = 0
y 2 ′′ + p (t) y 2 ′ + q (t) y 2 = 0
Multiplicando a primeira equação por (−y 2 ) , a segunda por (y 1 ) e somando
obtemos
(W (y 1 , y 2 ) (t)) ′ + p (t) W (y 1 , y 2 ) (t) = 0.
Assim W (y 1 , y 2 ) (t) é uma solução de
e portanto existe c ∈ R tal que
y ′ + p (t) y = 0
W (y 1 , y 2 ) (t) = ce − R p(t)dt .
b) É uma consequência direta de a).
Teorema:
Consideremos a EDO
y ′′ + p (t) y ′ + q (t) y = 0,
onde p, q são funções contínuas em I ⊂ R,e y 1 e y 2 duas soluções. São equivalentes:
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