Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Temos que
y 1 ′′ + p (t) y 1 ′ + q (t) y 1 = 0
y 2 ′′ + p (t) y 2 ′ + q (t) y 2 = 0
Multiplicando a primeira equação por α, a segunda por β e somando obtemos
(αy 1 + βy 2 ) ′′ + p (t) (αy 1 + βy 2 ) ′ + q (t) (αy 1 + βy 2 ) = 0
e portanto segue o resultado.
Definição:
Um CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUÇÕES de soluções de
y ′′ + p (t) y ′ + q (t) y = 0
é um conjunto formado por duas soluções y 1 e y 2 e satisfazendo que qualquer
outra solução é uma combinação linear destas.
Definição:
a) f e g são LINEARMENTE INDEPENDENTES (LI) em I ⊂ R se
αf + βg = 0 ⇒ α = β = 0
b) f e g são LINEARMENTE DEPENDENTES (LD) em I ⊂ R se
∃α, β ∈ R, α 2 + β 2 ≠ 0tais que αf + βg = 0
Exemplos:
1)
são LI. De fato
f (t) = e t , g (t) = e 2t
αf + βg = 0 ⇒ αe t + βe 2t = 0, ∀t ∈ R ⇒
{ (fazendo t = 0) α + β = 0
⇒
(fazendo t = 1) α + eβ = 0 ⇒ α = β = 0
2)
são LD. De fato
e 2 ≠ 0, −1 ≠ 0.
f (t) = t, g (t) = 2t
2f − g = 0
Definição:
42