Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
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Temos que<br />
y 1 ′′ + p (t) y 1 ′ + q (t) y 1 = 0<br />
y 2 ′′ + p (t) y 2 ′ + q (t) y 2 = 0<br />
Multiplicando a primeira equação por α, a segunda por β e somando obtemos<br />
(αy 1 + βy 2 ) ′′ + p (t) (αy 1 + βy 2 ) ′ + q (t) (αy 1 + βy 2 ) = 0<br />
e portanto segue o resultado.<br />
Definição:<br />
Um CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUÇÕES <strong>de</strong> soluções <strong>de</strong><br />
y ′′ + p (t) y ′ + q (t) y = 0<br />
é um conjunto formado por duas soluções y 1 e y 2 e satisfazendo que qualquer<br />
outra solução é uma combinação linear <strong>de</strong>stas.<br />
Definição:<br />
a) f e g são LINEARMENTE INDEPENDENTES (LI) em I ⊂ R se<br />
αf + βg = 0 ⇒ α = β = 0<br />
b) f e g são LINEARMENTE DEPENDENTES (LD) em I ⊂ R se<br />
∃α, β ∈ R, α 2 + β 2 ≠ 0tais que αf + βg = 0<br />
Exemplos:<br />
1)<br />
são LI. De fato<br />
f (t) = e t , g (t) = e 2t<br />
αf + βg = 0 ⇒ αe t + βe 2t = 0, ∀t ∈ R ⇒<br />
{ (fazendo t = 0) α + β = 0<br />
⇒<br />
(fazendo t = 1) α + eβ = 0 ⇒ α = β = 0<br />
2)<br />
são LD. De fato<br />
e 2 ≠ 0, −1 ≠ 0.<br />
f (t) = t, g (t) = 2t<br />
2f − g = 0<br />
Definição:<br />
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