Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

temos
Como
segue que
e portanto
p = 1 [ ] 1
2 a c xc − ac
x c
y = 1 [ 1 x c+1
]
2 a c c + 1 +
ac 1
c − 1 x c−1 + d
y = a [ 1
( x
)c+1
+ 1 ( a
) ] c−1
+ d
2 c + 1 a c − 1 x
y = a 2
d =
y (a) = 0
aϖν
ϖ 2 − ν 2
[ 1
( x
)c+1
+ 1 ( a
) ] c−1
+ aϖν
c + 1 a c − 1 x ϖ 2 − ν 2
Para sabermos o destino do rato precisamos calcular
{
lim y (x) = +∞, se c > 1
aϖν
x→0 + ϖ 2 −ν
, se 0 < c < 1
2
Logo se
c = ν ϖ > 1
ou seja se a velocidade do rato for maior que a do gato, o ratinho está salvo.
Porém, se
0 < c = ν ϖ < 1
ou seja, se a velocidade do gato for maior que a do rato então o tempo de vida
do ratinho está contado e é igual a
t = lim x→0 + y (x)
ν
=
aϖν
ϖ 2 −ν 2
ν
= aϖ
ϖ 2 − ν 2
2 o Caso:
Neste caso temos
e assim
Neste caso temos
e portanto o rato vence.
c = ν ϖ = 1
p = 1 [ x
2 a x]
− a
y = 1 [ ]
x
2
2 2a − a ln x + d
lim y (x) = +∞
x→0 +
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