Curso de EquaÃ§Ãµes Diferenciais OrdinÃ¡rias - Unesp

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2.1 EDO’s Lineares de Primeira Ordem Uma EDO linear de primeira ordem é uma equação do tipo Se y ′ + p (t) y = g (t) . g ≡ 0 então a equação é dita HOMOGÊNEA. Exemplos: 1) É óbvio que y ′ + y 2 = 3 2 y = 3 é uma solução. Vejamos como podem ser as outras. Temos dy dt = 3 − y 2 e assim se 1 dy 3 − y dt = 1 2 y ≠ 3. Então d dt (ln |y − 3|) = −1 2 Segue que qualquer solução da equação deverá ser da forma onde k é uma constante real. Observe que se k > 0 então e se k < 0 então y = ke − t 2 + 3 lim t→+∞ = 3 lim t→−∞ = +∞ lim t→+∞ = 3 lim t→−∞ = −∞ 4
2) Da mesma forma como no anterior temos que as soluções de dy dt = ry + k, onde r ≠ 0 e k são constantes reais, são dadas por onde M é uma constante real. 3) Vamos resolver o PVI y = Me rt − k r { y ′ − y 2 = e−t y (0) = −1 Multipliquemos os dois lados da equação por µ (t) : µy ′ − µ y 2 = µe−t Suponhamos que −µ y 2 = µ′ y e temos (µy) ′ = µe −t ∫ µy = µe −t dt y = ∫ µe −t dt µ Concluímos que se for possível encontrar uma tal função µ então poderemos encontrar as soluções da equação. Mas encontrar uma tal função µ, que chamaremos de FATOR INTEGRANTE, é relativamente simples: yµ ′ = −µ y 2 (y ≠ 0) ⇒ µ′ = − µ 2 ⇒ ⇒ µ′ µ = −1 2 ⇒ d dt ln |µ| = −1 2 ⇒ ⇒ ln |µ| = − t 2 + c ⇒ |µ| = ke− t 2 , k > 0 ⇒ ⇒ µ = ke − t 2 , k ∈ R. Assim, voltando para o PVI, temos y = ∫ ke − t 2 e −t dt ke − t 2 5 = − 2 3t 3e− 2 + c e − t 2
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