Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Estudemos agora o movimento do rato
velocidade= espaço
tempo
Suponhamos que após o tempo t o rato esteja no ponto (0, q) .
Assim
ν = q t
t = q ν
Lembrando que o gato corre na direção do rato, temos que
Assim
−y ′ = q − y
x
q − y = −xy ′
q = y − xy ′
t = y − xy′
v
Logo, a equação diferencial que a curva descrita pelo gato satisfaz é
∫
√
a
y − xy ′ 1 + (y
x
′ (u)) 2 du
=
v
ϖ
Rescrevendo
ν
ϖ
∫ a
x
√
1 + (y ′ (u)) 2 du = y − xy ′
e derivando com relação a x dos dois lados
− ν √
1 + (y
ϖ
′ ) 2 = y ′ − xy ′′ − y ′
Finalmente obtemos
Chamamos
e obtemos
√
ν
1 + (y
ϖ
′ ) 2 = xy ′′
y ′ = p
ν √
1 + p
2
= xp ′
ϖ
1 ν
x ϖ = p ′
√
1 + p
2
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