Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Assim
0 < p < k { f
2 ⇒ ′ (p) > 0
⇒ p ′′ > 0 ⇒ concavidade para cima
f (p) > 0
{
k
f
< p < k ⇒
′ (p) < 0
⇒ p ′′ < 0 ⇒ concavidade para baixo
2
f (p) > 0
{ f
p > k ⇒
′ (p) < 0
⇒ p ′′ > 0 ⇒ concavidade para cima
f (p) < 0
Podemos esboçar as soluções
A conclusão que chegamos é que existem duas popuções de equilíbrio (p = k, p = 0)
e que quando a população inicial for diferente das populações de equilíbrio, ela
tenderá a população de equilíbrio, quando o tempo passar.
É fácil resolvermos explicitamente, usando separação de variáveis
( 1
p + 1
k
1 − p k
dp
( )
1 −
p
= rdt ⇒
p
k
)
dp = rdt ⇒
⇒
⇒
3.4 Curvas de Perseguição
p
ln
∣ 1 −
p ∣ = rt + c ⇒
k
p
∣ 1 −
p ∣ = cert
k
Imaginemos que um rato está alegre e contente comendo seu queijo quando
é avistado por um gato faminto. O gato foge, seguindo a direção vertical com
uma velocidade ν e o gato persegue o rato, sempre em sua direção com uma
velocidade ω.
Fixamos um sistema de coordenadas. O rato parte da origem (0, 0) e o gato
de um ponto (a, 0) .
Vamos estudar o movimento do gato.
Denotamos
y (x)
a curva descrita pelo gato em seu movimento.
Suponhamos que após um tempo t o gato esteja no ponto (x, y) .
Assim
tempo =
t =
espaço
velocidade
√
1 + (y ′ (u)) 2 du
∫ a
x
ϖ
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