Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Modelemos tal situação
t : tempo
p (t) : população no tempo t
p (0) = p 0 : populção inicial
Assim { p ′ = kp
p (0) = p 0
É trivial obtermos
p (t) = p 0 e kt
Neste caso só temos duas possibilidades: ou k > 0 e daí o crescimento da
população é exponencial, o que irá ocasionar uma superpopulação; ou k < 0, o
que provocará a extinção da população.
Concluímos que este modelo não é razoável.
O modelo conhecido como modelo logístico substitui a constante k por uma
função que depende da população
p ′ = h (p) p
e satisfazendo que quando a população aumenta a taxa h(p) diminui. Um modelo
razoável é
{ p ′ = (r − ap) p
onde
É comum escrevermos
e assim nosso modelo é
p (0) = p 0
a, r > 0.
k = r a
{
p ′ = r ( 1 − p )
k p
p (0) = p 0
Observe o campo de direções
A equação é separável e pode ser facilmente resolvida. Vamos proceder uma
análise qualitativa antes de resolvê-la.
Como
(
p ′ = r 1 − p )
p
k
temos
e também
0 < p < k ⇒ p ′ > 0 ⇒ p crescente
p > k ⇒ p ′ < 0 ⇒ p decrescente
p ′ =
(
r 1 − p )
p = f (p)
k
p ′′ = f ′ (p) p ′ = f ′ (p) f (p)
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