Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
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Mo<strong>de</strong>lemos tal situação<br />
t : tempo<br />
p (t) : população no tempo t<br />
p (0) = p 0 : populção inicial<br />
Assim { p ′ = kp<br />
p (0) = p 0<br />
É trivial obtermos<br />
p (t) = p 0 e kt<br />
Neste caso só temos duas possibilida<strong>de</strong>s: ou k > 0 e daí o crescimento da<br />
população é exponencial, o que irá ocasionar uma superpopulação; ou k < 0, o<br />
que provocará a extinção da população.<br />
Concluímos que este mo<strong>de</strong>lo não é razoável.<br />
O mo<strong>de</strong>lo conhecido como mo<strong>de</strong>lo logístico substitui a constante k por uma<br />
função que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da população<br />
p ′ = h (p) p<br />
e satisfazendo que quando a população aumenta a taxa h(p) diminui. Um mo<strong>de</strong>lo<br />
razoável é<br />
{ p ′ = (r − ap) p<br />
on<strong>de</strong><br />
É comum escrevermos<br />
e assim nosso mo<strong>de</strong>lo é<br />
p (0) = p 0<br />
a, r > 0.<br />
k = r a<br />
{<br />
p ′ = r ( 1 − p )<br />
k p<br />
p (0) = p 0<br />
Observe o campo <strong>de</strong> direções<br />
A equação é separável e po<strong>de</strong> ser facilmente resolvida. Vamos proce<strong>de</strong>r uma<br />
análise qualitativa antes <strong>de</strong> resolvê-la.<br />
Como<br />
(<br />
p ′ = r 1 − p )<br />
p<br />
k<br />
temos<br />
e também<br />
0 < p < k ⇒ p ′ > 0 ⇒ p crescente<br />
p > k ⇒ p ′ < 0 ⇒ p <strong>de</strong>crescente<br />
p ′ =<br />
(<br />
r 1 − p )<br />
p = f (p)<br />
k<br />
p ′′ = f ′ (p) p ′ = f ′ (p) f (p)<br />
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