Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Definição:
a) Duas funções diferenciáveis
são ortogonais em x 0 ∈ I se
φ, ψ : I ⊂ R → R
φ ′ (x 0 ) ψ ′ (x 0 ) = −1
b) Duas famílias a um parâmetro de curvas planas diferenciáveis
F (x, y, λ) = 0
G (x, y, µ) = 0
são ditas ortogonais quando as λ− curvas forem ortogonais as µ−curvas em
todos os pontos onde se encontrarem.
PROBLEMA: Encontrar uma família de curvas ortogonais a uma família
dada.
Para resolvermos este problema procedemos da seguinte maneira: Seja
F (x, y, λ) = 0
a família dada.
Encontramos uma EDO que tenha suas soluções nos gráficos das curvas da
família
f (x, y, y ′ ) = 0
Em seguida resolvemos a EDO
f
(x, y, − 1 )
y ′ = 0
A solução da EDO acima fornecerá a família ortogonal.
Exemplos:
1)
Temos
x 2 + y 2 + λ 2 = 0
2x + 2yy ′ = 0
x + yy ′ = 0
y ′ = − x y
Consideramos a nova EDO
− 1 y ′ = −x y
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