Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

3.1 Famílias de Curvas Planas
Sejam U ⊂ R 2 aberto , Λ ⊂ R e
F : U × Λ → R.
Uma família a um parâmetro de curvas planas é uma família de curvas
obtidas implicitamente por
F (x, y, λ) = 0.
Exemplos:
1)
2)
x 2 + y 2 = λ 2 , λ ≥ 0
y = λx
PROBLEMA: Dado uma família a um parâmetro de curvas planas, encontrar
uma EDO tal que os gráficos das soluções estejam contidos nos traços
das curvas da família.
Exemplos:
1)
Derivando com relação a x obtemos
y − x − λ = 0
y ′ = 1.
2)
Temos
y − 2λx 2 − λ = 0
λ =
y
2x 2 + 1
y ′ − 4λx = 0
y ′ = 4λx
y ′ =
4xy
2x 2 + 1
Observação:
Observe que, de acordo com o Teorema da Função Implícita, a equação
define λ como função de (x, y) quando
f (x, y, λ) = 0
∂f
∂λ ≠ 0.
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