Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
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temos<br />
Chamando<br />
u (t) =<br />
∫ t<br />
0<br />
|φ (s) − ψ (s)| ds<br />
u (0) = 0<br />
u ′ (t) = |φ (t) − ψ (t)|<br />
u ′ − ku ≤ 0<br />
e −kt (u ′ − ku) ≤ 0<br />
(<br />
e −kt u ) ′<br />
≤ 0<br />
Observe que concluímos que uma função positiva ou nula, passando pela origem<br />
tem <strong>de</strong>rivada negativa. A única possibilida<strong>de</strong> é que<br />
u ≡ 0<br />
e portanto<br />
logo<br />
∫ t<br />
0<br />
|φ (s) − ψ (s)| ds = 0, ∀t<br />
φ = ψ.<br />
Exemplo:<br />
Vamos utilizar o método das aproximações sucessivas para encontrarmos a<br />
solução do PVI { y ′ = 2t (1 + y)<br />
Temos<br />
y (0) = 0<br />
φ 0 (t) = 0<br />
φ 1 (t) =<br />
φ 2 (t) =<br />
φ n (t) =<br />
φ n (t)<br />
Exercícios:<br />
→<br />
∫ t<br />
0<br />
∫ t<br />
0<br />
...<br />
∫ t<br />
0<br />
∞∑<br />
n=0<br />
2s (1 + φ 0 (s)) ds = t 2<br />
2s (1 + φ 1 (s)) ds = t 2 + t4 2<br />
2s (1 + φ n−1 (s)) ds = t 2 + t4 2<br />
t 2n<br />
n!<br />
= e t2 − 1.<br />
+ ... +<br />
t2n<br />
n!<br />
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