Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

temos
Chamando
u (t) =
∫ t
0
|φ (s) − ψ (s)| ds
u (0) = 0
u ′ (t) = |φ (t) − ψ (t)|
u ′ − ku ≤ 0
e −kt (u ′ − ku) ≤ 0
(
e −kt u ) ′
≤ 0
Observe que concluímos que uma função positiva ou nula, passando pela origem
tem derivada negativa. A única possibilidade é que
u ≡ 0
e portanto
logo
∫ t
0
|φ (s) − ψ (s)| ds = 0, ∀t
φ = ψ.
Exemplo:
Vamos utilizar o método das aproximações sucessivas para encontrarmos a
solução do PVI { y ′ = 2t (1 + y)
Temos
y (0) = 0
φ 0 (t) = 0
φ 1 (t) =
φ 2 (t) =
φ n (t) =
φ n (t)
Exercícios:
→
∫ t
0
∫ t
0
...
∫ t
0
∞∑
n=0
2s (1 + φ 0 (s)) ds = t 2
2s (1 + φ 1 (s)) ds = t 2 + t4 2
2s (1 + φ n−1 (s)) ds = t 2 + t4 2
t 2n
n!
= e t2 − 1.
+ ... +
t2n
n!
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