Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Como ∂f
∂y é contínua temos que f é LIPSCHITZIANA com relação a variável
y isto é
∃k > 0, |f (t, y 1 ) − f (t, y 2 )| ≤ k |y 1 − y 2 |
Assim
|φ 2 (t) − φ 1 (t)| =
Por indução temos
≤
≤
≤
∣
∫ t
0
∫ t
0
∫ t
0
∫ t
0
[f (s, φ 1 (s)) − f (s, φ 2 (s))] ds
∣ ≤
|f (s, φ 1 (s)) − f (s, φ 2 (s))| ds ≤
k |φ 1 (s) − φ 0 (s)| ds ≤
kM |s| ≤ kM t2 2
|φ n − φ n−1 | ≤ k n−1 M hn
n! .
Assim temos que verificar que a série
é convergente.
Como
∞∑
i=1
k n−1 M hn
n! = M k
(hk) n+1
(n+1)!
(hk) n
n!
∞∑ (hk) n
i=1
= hk
n + 1 → 0
o teste da razão garante a convergência da série.
Logo existe φ tal que
φ n → φ.
≤ kM
h2
2 .
Provemos agora a unicidade.
Suponhamos que φ e ψ sejam soluções do PVI. Assim
Desta forma
φ (t) =
ψ (t) =
|φ (t) − ψ (t)| ≤ k
≤
k
∫ t
0
∫ t
0
∫ t
0
∫ t
0
n!
f (s, φ (s)) ds
f (s, ψ (s)) ds
|f (s, φ (s)) − f (s, ψ (s))| ds ≤
|φ (s) − ψ (s)| ds.
29