Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

[−a, a] ⊂ Dom (φ n )
ou equivalentemente
I (φ n ) ⊂ [−b, b]
|φ n (t)| ≤ b
Como a função f é contínua em R temos que existe M > 0 tal que
e assim, se
então
Tomando
temos que
|φ n (t)| =
em (−h, h) .
É trivial verificarmos que
≤
≤
φ 0 +
|f (t, y)| ≤ M
∣
|t| ≤ b M
∫ t
0
∫ t
0
∫ t
0
h = min{a,
f (s, φ n−1 (s)) ds
∣ ≤
|f (s, φ n−1 (s))| ds ≤
Mds ≤ M |t| ≤ b.
|φ n (t)| ≤ b
b
M }
n∑
(φ i − φ i−1 ) = φ n
i=1
Assim, para provarmos a convergência da sequência φ n basta verificarmos a
convergência da série
n∑
(φ i − φ i−1 ) .
i=1
É suficiente verificarmos a convergência de
n∑
|φ i − φ i−1 |
i=1
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