Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

sobre eventuais problemas em t = 1. De qualquer forma o teorema verifica-se, já
que ele garante apenas que existe uma única função definida em uma vizinhança
de t 0 = 0 que é solução do PVI.
O Método de Picard e uma idéia da prova do Teorema
Para simplificar a apresentação, consideremos o caso particular
{ y ′ = f (t, y)
e f e ∂f
∂y contínuas em R :
y (0) = 0
−a ≤ t ≤ a
−b ≤ y ≤ b
A prova baseia-se no MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS (
Método de Picard).
Inicialmente observemos que se φ é uma solução do PVI então temos
∫ t
0
φ ′ (s) = f (s, φ (s))
φ ′ (s) ds =
φ (t) − φ (0) =
φ (t) =
∫ t
0
∫ t
0
∫ t
0
f (s, φ (s)) ds
f (s, φ (s)) ds
f (s, φ (s)) ds
Consideremos uma sequência de funções dada por
φ 0 (t) = 0
φ 1 (t) =
φ 2 (t) =
φ n (t) =
∫ t
0
∫ t
0
∫ t
.......
0
f (s, φ 0 (s)) ds
f (s, φ 1 (s)) ds
f (s, φ n−1 (s)) ds
Se a seqũencia for convergente então a função limite será uma solução. Para
resolvermos tal problema devemos antes de mais nada verificarmos se φ n está
bem definida.
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