Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

2.6 O Teorema de Existência e Unicidade
Teorema: Seja o PVI { y ′ = f (t, y)
y (t 0 ) = y 0
.
Suponhamos que as funções f e ∂f
∂y
e que o ponto (t 0 , y 0 ) satisfaz
R :
são contínuas em
α ≤ t ≤ β
γ ≤ y ≤ δ
α < t 0 < β, γ < y 0 < δ.
Então existe h > 0 tal que em (t 0 − h, t 0 + h) ⊂ (α, β) existe uma única função
φ solução do PVI.
Antes de darmos uma idéia da prova do teorema vejamos alguns exemplos:
e
1) Considere o PVI { y ′ = 3√ y
y (0) = 0 .
Observe que as funções
y 2 =
y 1 ≡ 0
{ √ ( 2
3 t) 3
, t ≥ 0
0, t < 0
são duas soluções distintas do PVI. isto não contradiz o teorema pois
∂ ( √ 3
y )
= 1
∂y 3 3√ y 2
não é contínua em nenhum intervalo contendo (0, 0) .
2) {
y ′ = y 2
y (0) = 1
A equação é separável e facilmente obtemos
y = 1
1 − t .
Note que encontramos uma solução, mas o fato dela não estar definida em
t = 1 é de certa forma inesperado. De fato, a equação não dá nenhuma pista
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