Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

obtemos
− y x 2 dx + 1 x dy = 0
que é exata.
Chamamos
ϕ (x, y) = 1 x 2
de fator integrante.
Resolvendo
obtemos
{
∂f
∂x = − y x 2
∂f
∂y = 1 x
f (x, y) = y x
e as soluções são dadas implicitamente por
Definição: Se
não for exata mas
y
x = c
Mdx + Ndy = 0
µ (Mdx + Ndy) = 0
for exata então µ é chamado de FATOR INTEGRANTE.
DICAS DE COMO ENCONTRAR FATORES INTEGRANTES:
1) É possível encontrar µ = µ (x) se
não depender de y. De fato se
M y − N x
N
µ (Mdx + Ndy) = 0
for exata então
e assim
µM y + µ y M = µN x + µ x N
µ x
µ = M y − N x
⇒ (ln µ) ′ = M y − N x
⇒ µ (x) = e R My −Nx
N
N
N
2) Analogamente é possível encontrar µ = µ (y) se
N x − M y
M
21