Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Na notação diferencial temos
Exemplo:
Ny ′ + M = 0 ⇒ N dy
dx + M = 0 ⇒
⇒ Mdx + Ndy = 0 ⇒ df = 0.
Como
(2xy + 1) dx + ( x 2 + 4y ) dy = 0
segue que a equação é exata.
Resolvemos
e obtemos
M y = ∂ (2xy + 1) = 2x
∂y
N x = ∂ (
x 2 + 4y ) = 2x
∂x
{
∂f
∂x = 2xy + 1
∂f
∂y = x2 + 4y
f (x, y) = x 2 y + 2y 2 + x
Logo as soluções são dadas implicitamente por
Observação:
a) Uma função f satisfazendo que
x 2 y + 2y 2 + x = c
F = (P, Q) =
( ∂f
∂x , ∂f )
∂y
é chamada de FUNÇÃO POTENCIAL do campo F.
b) Se
P = ∂f
∂x , Q = ∂f
∂y
então f é dita uma INTEGRAL PRIMEIRA da equação
P dx + Qdy = 0.
Exemplo:
não é exata. Multiplicando por
−ydx + xdy = 0
1
x 2
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