Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

é derivável e
F ′ (x) = f (x) .
Prova:
Observe que o teorema está afirmando que F (x) é a solução do PVI (Problema
de Valor Inicial) { y ′ (x) = f (x)
.
y (a) = 0
Para provarmos o teorema basta calcularmos F ′ (x) :
F ′ F (x + h) − F (x)
(x) = lim
=
h→0 h
∫ x+h
x
h→0
= lim
f (t) dt
h
f (c h ) h
= lim = ∗
h→0 h
onde c h é um número entre x e x + h, conforme o Teorema do Valor Médio
Integral. Assim a continuidade de f nos garante que
∗ = f (x) .
Classificação das Equações Diferenciais:
-Quanto ao tipo: Chamamos de EDO (Equações Diferenciais Ordinárias)
aquelas onde aparecem apenas as derivadas ordinárias e chamamos de EDP
(Equações Diferenciais Parciais) aquelas onde aparecem derivadas parciais.
-Quanto a ordem: A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior
derivada que aparece na equação.
Exemplos:
1)
é uma EDO de 1 a ordem.
2)
é uma EDP de 2 a ordem.
y ′ + y = sin x
u t = u xx
OBSERVAÇÃO: A Forma Geral das EDO’s que iremos estudar neste
curso é
(
y (n) = f t, y, y ′ , ..., y (n−1)) .
QUESTÕES QUE ABORDAREMOS:
-Sempre têm soluções (Existência)
-Quantas soluções (Unicidade)
-É possível determiná-las 2