Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Observação:
É claro que
ω = P dx + Qdy
é exata se e somente se o campo de vetores
F = (P, Q)
for gradiente.
O próximo teorem tem demonstração análoga ao teorema das equivalências:
Teorema: Dados U ⊂ R 2 um aberto simplesmente conexo e ω = P dx+Qdy
uma 1-forma diferencial de classe C 1 temos que são equivalentes:
a) ω é exata;
b) ω é fechada;
c) ∫
para qualquer caminho fechado em U.
P dx + Qdy = 0
α
Uma equação diferencial
Equações Exatas
N (x, y) y ′ + M (x, y) = 0 (*)
onde M, N ∈ C 1 em U ⊂ R 2 aberto simplesmente conexo é dita EXATA se
Seja
uma função tal que
então
M y = N x .
f : U → R
∂f ∂f
= M,
∂x ∂y = N
N (x, y) y ′ + M (x, y) = 0 ⇒ ∂f
∂y (x, y) y′ + ∂f (x, y) = 0 ⇒
∂x
⇒
d (f (x, y (x))) = 0 ⇒ f (x, y (x)) = cte
dx
Concluímos que as soluções de (∗) possuem gráficos contidos nas curvas de
nível da f.
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