Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Vamos provar apenas que
é um conjunto LI.
Se
então
Assim
{dx, dy}
αdx + βdy = 0
(αdx + βdy) (x, y) = 0, ∀ (x, y) ∈ R 2 .
(αdx + βdy) (1, 0) = α = 0
(αdx + βdy) (0, 1) = β = 0
Definição:
Uma 1-FORMA DIFERENCIAL é uma aplicação
ω : U ⊂ R 2 → ( R 2) ∗
Escrevemos
ω (x, y) = P (x, y) dx + Q (x, y) dy
Um exemplo bem conhecido é a diferencial de
f : U ⊂ R 2 → R
df (x, y) = ∂f
∂f
(x, y) dx + (x, y) dy
∂x ∂y
Definição:
a)Uma 1-forma ω é chamada de EXATA se existe f tal que
ω = df.
b) ω = P dx + Qdy é dita FECHADA se
P y = Q x
c) A integral de uma 1-forma ω = P dx + Qdy ao longo de um caminho
diferenciável
α(t) = (x (t) , y (t)) , a ≤ t ≤ b
é definida por
∫
α
P dx + Qdy =
∫ b
a
[P (x (t) , y (t)) x ′ (t) + Q (x (t) , y (t)) y ′ (t)] dt
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