Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
e assim<br />
<br />
V x = P, V y = Q.<br />
e) Basta aplicarmos o Teorema <strong>de</strong> Green<br />
∫ ∫ ∫<br />
F dr = (Q x − P y ) dA = 0.<br />
α<br />
D<br />
Exemplo: Observe a importância do aberto ser simpesmente conexo. Consi<strong>de</strong>re<br />
U = {(x, y) ∈ R 2 |ρ 2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ ρ 2 2}<br />
e<br />
É fácil verificar que<br />
F (x, y) =<br />
( )<br />
y<br />
x 2 + y 2 , −x<br />
x 2 + y 2<br />
P y = Q x<br />
e que portanto F é fechado. No entanto, consi<strong>de</strong>rando o caminho fechado<br />
α (t) = (r cos t, r sin t) , t ∈ [0, 2π] , ρ 1 < r < ρ 2<br />
temos que<br />
∫<br />
α<br />
F dr = 2π ≠ 0.<br />
Definição:<br />
T : R 2 → R<br />
é uma TRANSFORMAÇÃO LINEAR <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que<br />
T (αu + βv) = αT (u) + βT (v) , ∀u, v ∈ R 2 , ∀α, β ∈ R.<br />
Definição:<br />
(<br />
R<br />
2 ) ∗<br />
= {T : R 2 → R|T é linear}<br />
é chamado <strong>de</strong> ESPAÇO DUAL <strong>de</strong> R 2 .<br />
Teorema:<br />
( ) R<br />
2 ∗<br />
é um espaço vetorial <strong>de</strong> dimensão 2 e uma base <strong>de</strong>sse<br />
espaço é {dx, dy} on<strong>de</strong><br />
dx (x, y) = x<br />
dy (x, y) = y<br />
Prova:<br />
17