Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

e assim
V x = P, V y = Q.
e) Basta aplicarmos o Teorema de Green
∫ ∫ ∫
F dr = (Q x − P y ) dA = 0.
α
D
Exemplo: Observe a importância do aberto ser simpesmente conexo. Considere
U = {(x, y) ∈ R 2 |ρ 2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ ρ 2 2}
e
É fácil verificar que
F (x, y) =
( )
y
x 2 + y 2 , −x
x 2 + y 2
P y = Q x
e que portanto F é fechado. No entanto, considerando o caminho fechado
α (t) = (r cos t, r sin t) , t ∈ [0, 2π] , ρ 1 < r < ρ 2
temos que
∫
α
F dr = 2π ≠ 0.
Definição:
T : R 2 → R
é uma TRANSFORMAÇÃO LINEAR desde que
T (αu + βv) = αT (u) + βT (v) , ∀u, v ∈ R 2 , ∀α, β ∈ R.
Definição:
(
R
2 ) ∗
= {T : R 2 → R|T é linear}
é chamado de ESPAÇO DUAL de R 2 .
Teorema:
( ) R
2 ∗
é um espaço vetorial de dimensão 2 e uma base desse
espaço é {dx, dy} onde
dx (x, y) = x
dy (x, y) = y
Prova:
17