Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

Teorema de Green: Sejam
F : U → R 2
de classe C 1 e α uma curva fechada, simples e suave por partes. Então
∫
∫ ∫
P dx + Qdy = (Q x − P y ) dA
onde D é a região limitada pelo traço de α.
Como
α
Prova do Teorema das Equivalências:
a) Se F é gradiente então existe V tal que
D
F = (V x , V y )
V yx = V xy
temos que F é fechado.
b) Sendo F gradiente temos
∫
∫
F dr = V x dx + V y dy =
α
=
=
α
∫ b
a
∫ b
c) Imediato a partir de b).
d) Definimos
a
(V x x ′ + V y y ′ )dt =
d
(V ◦ α)dt = V (α (b)) − V (α (a)) .
dt
∫
V (x, y) =
α
F dr
onde α é um caminho qualquer ligando um ponto (x 0 , y 0 ) fixado a (x, y) .
V está bem definida pois a hipótese garante que a integral não depende do
caminho.
Tomando o caminho α como a justaposição dos caminhos α 1 e α 2 onde
α 1 é o caminho retilíneo ligando (x 0 , y 0 ) a (x, y 0 )
α 2 é o caminho retilíneo ligando (x, y 0 ) a (x, y)
temos
V (x, y) =
=
∫
P dx + Qdy =
α
∫ x ∫ y
P dx + Qdy
x 0 y 0
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