Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
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Teorema <strong>de</strong> Green: Sejam<br />
F : U → R 2<br />
<strong>de</strong> classe C 1 e α uma curva fechada, simples e suave por partes. Então<br />
∫<br />
∫ ∫<br />
P dx + Qdy = (Q x − P y ) dA<br />
on<strong>de</strong> D é a região limitada pelo traço <strong>de</strong> α.<br />
Como<br />
α<br />
Prova do Teorema das Equivalências:<br />
a) Se F é gradiente então existe V tal que<br />
D<br />
F = (V x , V y )<br />
V yx = V xy<br />
temos que F é fechado.<br />
b) Sendo F gradiente temos<br />
∫<br />
∫<br />
F dr = V x dx + V y dy =<br />
α<br />
=<br />
=<br />
α<br />
∫ b<br />
a<br />
∫ b<br />
c) Imediato a partir <strong>de</strong> b).<br />
d) Definimos<br />
a<br />
(V x x ′ + V y y ′ )dt =<br />
d<br />
(V ◦ α)dt = V (α (b)) − V (α (a)) .<br />
dt<br />
∫<br />
V (x, y) =<br />
α<br />
F dr<br />
on<strong>de</strong> α é um caminho qualquer ligando um ponto (x 0 , y 0 ) fixado a (x, y) .<br />
V está bem <strong>de</strong>finida pois a hipótese garante que a integral não <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do<br />
caminho.<br />
Tomando o caminho α como a justaposição dos caminhos α 1 e α 2 on<strong>de</strong><br />
α 1 é o caminho retilíneo ligando (x 0 , y 0 ) a (x, y 0 )<br />
α 2 é o caminho retilíneo ligando (x, y 0 ) a (x, y)<br />
temos<br />
V (x, y) =<br />
=<br />
∫<br />
P dx + Qdy =<br />
α<br />
∫ x ∫ y<br />
P dx + Qdy<br />
x 0 y 0<br />
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