Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

temos
Escrevendo
x ′ (t) = dx
dt , y′ (t) = dy
dt
∫
∗ = P dx + Qdy
α
Definição: F : U → R 2 é dito GRADIENTE se existir V : U → R tal que
F = ∇V. A função V é chamada de POTENCIAL.
Exemplo:
é gradiente. De fato, basta considerar
F (x, y) = ( x 2 , 3y )
V (x, y) = x3
3 + 3y2
2 .
Definição: F : U → R 2 , F (x, y) = (P (x, y) , Q (x, y)) é dito FECHADO
se P y = Q x .
Teorema:
a)
b)
F gradiente e C 1 ⇒ F é fechado.
∫
F gradiente e C 0 ⇒
α
F dr = V (α (b)) − V (α (a))
onde α : [a, b] → R 2 é diferenciável e V é um potencial de F.
c)
∫
F gradiente e C 0 ⇒ F dr = 0 onde α é uma curva diferenciável fechada.
α
d)
∫
F dr = 0 qualquer que seja α curva diferenciável fechada, F ∈ C 0 ⇒
α
e)
⇒
F é gradiente.
F diferenciável, fechado e U simplesmente conexo ⇒ F é gradiente.
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