Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

2.4 Equações Exatas
——–
Antes de estudarmos as equações separáveis vamos inicialmente rever alguns
pré-requisitos de Cálculo Vetorial e Álgebra Linear.
Definição: Um campo de vetores em U ⊂ R 2 , aberto, é uma função
F : U → R 2
Exemplos:1)
2) Dado uma função
temos que
∇V (x, y) =
é o gradiente de V em (x, y) .
F (x, y) = (x, −y)
V : U → R
( )
∂V ∂V
(x, y) ,
∂x ∂y (x, y)
é um campo de vetores.
∇V : U → R 2
Definição: Sejam
um campo de vetores diferenciável e
F : U → R 2
α : [a, b] → U
uma curva diferenciável. Definimos a integral de F ao longo de α por
∫ ∫ b
F dr = F (α (t)) α ′ (t) dt
Notação:
Denotando
α
a
F (x, y) = (P (x, y) , Q (x, y))
α ′ (t) = (x ′ (t) , y ′ (t))
temos
∫
α
F dr =
=
∫ b
a
∫ b
a
(P (x (t) , y (t)) , Q (x (t) , y (t))) (x ′ (t) , y ′ (t)) dt =
[P (x (t) , y (t)) x ′ (t) + Q (x (t) , y (t)) y ′ (t)] dt = ∗
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