Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

e obtemos o problema
{
v ′ + 3 t v = 3 cos t
v (1) = 1
.
II- A Equação de Riccati
y ′ + p (t) y + q (t) y 2 = f (t)
Teorema: Se y 1 e y 2 são soluções da equação de Riccati então
é solução da equação de Bernoulli
z = y 2 − y 1
z ′ + (p (t) + 2y 2 q (t)) z = q (t) z 2 .
Prova: Basta efetuar o cálculo para comprovar.
Exemplo:Sabendo que
é solução de
encontre outra solução.
Pelo método acima temos que
y 2 = t
y ′ + t 3 y − t 2 y 2 = 1
z = t − y 1
é solução de
Fazendo
z ′ − t 3 z = −t 2 z 2 .
v = 1 z
obtemos
cuja solução é
v = e − t4 4
v ′ + t 3 v = t 2
(∫
)
e t4 4 t 2 dt + c .
Logo
y 1 = t −
e t4 4
∫
e
t 4 4 t 2 dt + c
é outra solução.
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