Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp

9) Considere o PVI {
y ′ − 3 2y = 3t + 2et
y (0) = y 0
Determine o valor de y 0 que separa as soluções que crescem positivamente
quando t → +∞ das que crescem negativamente. Como se comporta solução
que corresponde a esse valor crítico de y 0
10) Mostre que se a e λ são constantes positivas e b é um número real
qualquer , toda solução da equação
y ′ + ay = be −λt
tem a propriedade de que y → 0 quando t → +∞.
2.2 Equações Redutíveis a Forma Linear
I- A Equação de Bernoulli
y ′ + p (t) y = q (t) y n , n ∈ Z.
Se n = 0 ou n = 1 então a equação é linear e já sabemos como resolvê-la.
Para n ≠ 0 e para n ≠ 1 consideramos a seguinte mudança de coordenadas
v = y 1−n
e temos
dv
−n dy
= (1 − n) y
dt
dt
dv
dy
dt
=
dt 1 − n yn
dv
dt
1 − n yn + p (t) y = q (t) y n (÷y n )
dv
dt
1 − n + p (t) y1−n = q (t)
v ′ + (1 − n) p (t) v = (1 − n) q (t)
sendo a última equação linear.
Exemplo:
Fazemos
{
y ′ + 1 t
y = (cos t) y−2
y (1) = 1
v = y 3
, t > 0
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