Curso de Equações Diferenciais Ordinárias - Unesp
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9) Consi<strong>de</strong>re o PVI {<br />
y ′ − 3 2y = 3t + 2et<br />
y (0) = y 0<br />
Determine o valor <strong>de</strong> y 0 que separa as soluções que crescem positivamente<br />
quando t → +∞ das que crescem negativamente. Como se comporta solução<br />
que correspon<strong>de</strong> a esse valor crítico <strong>de</strong> y 0 <br />
10) Mostre que se a e λ são constantes positivas e b é um número real<br />
qualquer , toda solução da equação<br />
y ′ + ay = be −λt<br />
tem a proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong> que y → 0 quando t → +∞.<br />
2.2 Equações Redutíveis a Forma Linear<br />
I- A Equação <strong>de</strong> Bernoulli<br />
y ′ + p (t) y = q (t) y n , n ∈ Z.<br />
Se n = 0 ou n = 1 então a equação é linear e já sabemos como resolvê-la.<br />
Para n ≠ 0 e para n ≠ 1 consi<strong>de</strong>ramos a seguinte mudança <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas<br />
v = y 1−n<br />
e temos<br />
dv<br />
−n dy<br />
= (1 − n) y<br />
dt<br />
dt<br />
dv<br />
dy<br />
dt<br />
=<br />
dt 1 − n yn<br />
dv<br />
dt<br />
1 − n yn + p (t) y = q (t) y n (÷y n )<br />
dv<br />
dt<br />
1 − n + p (t) y1−n = q (t)<br />
v ′ + (1 − n) p (t) v = (1 − n) q (t)<br />
sendo a última equação linear.<br />
Exemplo:<br />
Fazemos<br />
{<br />
y ′ + 1 t<br />
y = (cos t) y−2<br />
y (1) = 1<br />
v = y 3<br />
, t > 0<br />
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