Entrando na Onda....

Entrando na Onda...
Hélio Magalhães de Oliveira, hmo@ufpe.br
Departamento de Eletrônica e Sistemas
Universidade Federal de Pernambuco
Cidade Universitária Recife - PE
URL: http://www.ee.ufpe.br/codec/deOliveira.html
http://www.ee.ufpe.br/codec/WEBLET.html
1

Wavelets: Entrando Na Onda
Wavelets:
Uma Evolução na Representação de
Sinais
• A análise espectral constitui uma das
ferramentas clássicas mais poderosas.
• Uma teoria mais potente e geral foi
introduzida nos anos 80: A Transformada de
Wavelet
• Ela inclui: Série de Fourier, a Transformada
de Fourier, a Transformada de Gabor de
Tempo Curto, Espectrogramas.
• Wavelets constituem hoje uma das
ferramentas potentes em PDS.
ORIGEM- Escola Francesa
(Morlet, Grossmann,Meyer, Battle, Lemarié,
Cohen, Mallat, Coifman, Rioul, etc.)
... Pacotes de ondas acústicas sísmicas.
2

Wavelets: Entrando Na Onda
Em 1909, a primeira menção: tese de doutorado
de Alfred Haar, análise escalonada.
As Wavelets de Haar, embora de suporte
compacto não são continuamente diferenciáveis.
Década de 80, Alex Grossmann (Université de
Marseille) e Jean P. Morlet (Elf Acquitaine)
introduziram o conceito de wavelets
Morlet recebeu o prêmio Reginald Fessenden
Award 1997.
Em 1985, Stéphane Mallat (França) estabeleceu
a ligação desta teoria com o processamento digital de
sinais.
Yves Meyer (França) construiu uma das
primeiras Wavelets não triviais, continuamente
diferenciáveis.
Ingrid Daubechies (Bélgica) construiu o mais
usado conjunto de wavelets ortogonais de suporte
compacto (tempo-limitada).
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Wavelets: Entrando Na Onda
Jean Morlet. (ecce homo!)
Gama de aplicações:
geologia sísmica
visão computacional e humana
radar e sonar
computação gráfica
predição de terremotos e maremotos
turbulência
distinção celular (normais vs patológicas)
modelos para trato auditivo
compressão de imagens
descontaminação de sinais (denoising)
detecção de rupturas e bordas
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Wavelets: Entrando Na Onda
análise de tons musicais
neurofisiologia
detecção de curtos eventos patológicos
análise de sinais médicos
espalhamento em banda larga
modelagem de sistemas lineares
óptica
modelagem geométrica
caracterização de sinais acústicos
reconhecimento de alvos
transitório e falhas em linhas de potência
Metalurgia (rugosidade de superfícies)
visualização volumétrica
Telecomunicações
previsão em mercados financeiros
Estatística
solução de eq. dif. ordinárias& parciais
5

Wavelets: Entrando Na Onda
Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822:
"La Théorie Analytique de la Chaleur":
Ondas senoidais como elementos de vibrações e
ondas periódicas ⎯ verdadeiros átomos das
flutuações e do fluxo.
Os sinais passaram a ser analisados no domínio
de Fourier, i.e., no domínio da freqüência.
A decomposição evoluiu para a representação via
transformada de Fourier.
Definição (ANÁLISE DE FOURIER):
A transformada de Fourier de um sinal f(t),
-∞< t < +∞ é
∫ +∞ − jwt
= f ( t)
e dt
−∞
F( w)
:
, denotada
algumas vezes I [ f ( t)]
, se a integral imprópria
existe. ❏
6

Wavelets: Entrando Na Onda
Conhecendo-se F(w), é possível voltar ao
domínio temporal (SÍNTESE DE FOURIER):
f ( t)
1
∫ + ∞ jwt
= F(
w)
e dw
2π
−∞
. ❏
par transformada: f(t) ↔ F(w).
TEOREMA DE PARSEVAL.
Seja f(t) ↔ F(w) um sinal real, de energia
finita. Então a energia do sinal pode ser calculada
em qualquer dos domínios, i.e,
∫
+∞
−∞
f
2
( t)
dt
∫
+∞
2
= | F(
f ) | df
−∞
. ❏
Por que wavelets Em que esta ferramenta pode
ser mais potente que a análise espectral clássica
de Fourier De onde surgiram as wavelets
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Wavelets: Entrando Na Onda
Análise Espectral P/ Sinais Não-Estacionários
Os sinais devem ser tratados não no
domínio t ou domínio f, mas em ambos
(espaço conjunto tempo-freqüência)!
Conceito de estacionaridade
Uma das deficiências da análise de Fourier é que
ela não apresenta um caráter local.
Todo o sinal, desde o começo dos tempos (-∞)
até o fim dos tempos (+∞) é levado em consideração.
A transformada de Fourier representa um
"comportamento global médio" do sinal.
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Wavelets: Entrando Na Onda
(a)
(b)
Figura. (a) Ilustração de um trecho de um sinal
(possivelmente) estacionário,
(b) Ilustração de um trecho de um possível
sinal não estacionário.
A transformada de Fourier analisa a
contribuição de cada componente harmônica no
sinal como um todo.
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Wavelets: Entrando Na Onda
O sinal estacionário apresenta um
comportamento "mais ou menos" semelhante em
qualquer trecho analisado...
Abordagem (pouco formal, mas suficiente).
Figura. Sinal com linha de base.
Evolução na TF clássica:
(STFT) Transformada de Gabor, ou
transformada de janela (transformada de Fourier de
tempo curto).
Esta transformada introduz um caráter local
e passa a depender fortemente do instante de
tempo analisado.
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Wavelets: Entrando Na Onda
Primeiro passo na direção das wavelets: a
introdução de um caráter local.
Sinal "fatiado" em trechos, e em cada trecho, a
contribuição espectral fosse analisada, resultando em
um espectro local.
seqüência de "fotos" do espectro:
... F(w,t -1 ), F(w, t 0 ), F(w,t 1 ), F(w,t 2 ) .... evoluindo
temporalmente.
Sinais práticos " bem comportado" com relação à
estacionaridade: sinais periódicos.
Não é a toa que a análise clássica de Fourier é
freqüentemente restrita a esta classe de sinais.
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Wavelets: Entrando Na Onda
FOTOS:
• Representar o rosto por fotos (5 anos, 10 anos,
15, 20, 25 e 30 anos).
• Uma única foto representativa do indivíduo,
uma "foto média". Essa foto média representa
o espectro de Fourier.
• Um caráter local (no tempo) => trabalhar com
mais fotos, => maior complexidade,
capacidade de armazenamento/ processamento
A classe de sinais, cujo espectro permanece
relativamente independente no tempo, são referidos
como sinais estacionários.
Os não-estacionários trazem variações
substanciais e significativas de padrão e
comportamento, dependendo do instante de tempo
considerado.
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Wavelets: Entrando Na Onda
É como se, "de repente", no meio de uma
seqüência de fotos 3×4 de fotos humanas
semelhantes, surgisse uma foto de algum animal
completamente diferente (e.g., girafa).
Diferentes níveis de "estacionaridade":
‣ seqüência de fotos sempre de uma mesma pessoa
em diferentes tempos;
‣ seqüência de fotos de pessoas diferentes em
tempos diferentes, porém de uma mesma raça
(origem);
‣ seqüência de fotos de pessoas diferentes em
tempos diferentes, porém de origens diferentes;
‣ seqüência de fotos de diferentes animais em
tempos diferentes (levando em conta algum
aspecto da classificação de Lineu);
‣ seqüência de fotos arbitrárias diferentes em
tempos diferentes, incluindo objetos, paisagens etc.
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Wavelets: Entrando Na Onda
Quando o espectro de Fourier passa a não ter
sentido. A resposta não é fechada.
Depende do que se deseja e quanto se pode
"pagar".
A Transformada de Gabor
Embora capaz de determinar o conteúdo de
freqüências presentes em um sinal, não há noção de
quando (em que intervalo de tempo) elas ocorrem.
A transformada de Fourier não fornece uma
análise temporal, apenas freqüencial.
Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT
– Short Time Fourier Transform) também conhecida
como a Transformada de Gabor.
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Wavelets: Entrando Na Onda
A idéia da STFT é introduzir um parâmetro de
freqüência local (local no tempo) como se a
"Transformada de Fourier Local" observasse o sinal
através de uma curta "janela" dentro da qual o sinal
permanece aproximadamente estacionário.
A transformada local observa f(t) "através" de
uma janela W(t) centrada no instante de tempo τ e de
extensão "limitada", antes do cálculo do espectro.
Formalmente,
STFT(w,τ ) := ∫
+∞
−∞
f(t)W
(t
−
ô) e
* − jwt
dt
.
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Wavelets: Entrando Na Onda
Representação bidimensional F(w,τ,) do sinal
f(t), composta por características espectrais
dependentes do tempo.
Janela: a mais comum é janela Gaussiana.
t
t
1
f
1
f
1
f
2
fFigura. Análise espectral com Transformada f
de
Fourier clássica e em tempo curto.
As próximas perguntas:
f
2
q
q
Por que a STFT não é suficiente
O que seria mais apropriado, além de um
transformada local (wavelets também são
locais)
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Wavelets: Entrando Na Onda
A necessidade da segunda operação básica das
wavelets, o escalonamento, também pode ser
entendida neste contexto.
A Guisa de uma Análise de Wavelets
Alternativa para abordar o plano conjunto
tempo-freqüência :
A análise visualizada como um banco de filtros.
resolução no tempo deveria aumentar com o
aumento da freqüência central dos filtros, ou ∆f/f=cte
(ou fator de qualidade Q constante).
Q constante: as resoluções t e f mudam com a
freqüência central, satisfazendo ainda o princípio da
Incerteza de Gabor-Heisenberg (célula básica).
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Wavelets: Entrando Na Onda
FOTOS NOVAMENTE:
Deve-se usar uma representação para um indivíduo
de meia-idade com uma meia dúzia de fotos
(0 ano, 5 anos, 10 anos 15 anos, 20 anos, 25 anos).
(1 ano, 2 anos, 4 anos, 8 anos, 16 anos e 32 anos).
O comportamento das respostas ao impulso dos
filtros de análise, oscilatório (rápido) e amortecido,
gerando "ondinhas".
Figura. Exemplo de uma ondinha:
ondelette de Morlet (Matlab ® ).
As wavelets podem ser interpretadas como
as transformadas lineares locais geradas por
um banco de filtros de fator de qualidade
constante.
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Wavelets: Entrando Na Onda
domínios tempo e freqüência (f × t)
domínios escala e deslocamento (a × b).
Interpretação: "mapas".
Uma mudança de escala pode permitir,
numa escala maior, ter uma visão mais global,
mas com menor precisão. Já em uma escala
menor, vê-se detalhes, mas perde-se em
estudar o comportamento global.
1: 15.000.000 idéia do Brasil como um todo
1: 3.500.000, analisar Pernambuco,
perdendo-se a noção do Brasil como um todo.
Quem já usou mapas sabe que depende
fundamentalmente do que se quer investigar! A
análise via wavelets permite, por assim dizer,
visualizar tanto a floresta quanto as árvores.
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Wavelets: Entrando Na Onda
Na Transformada Contínua de Wavelet
CWT, todas as respostas ao impulso no banco de
filtros são versões (expandidas ou comprimidas) da
mesma ψ(t), chamada de Wavelet básica.
Assim,
1
t
CWT( a , ) : ∫ + ∞ * −τ
τ = f ( t)
ψ ( )dt
−∞
a
a
. ❏
no rol das Transformadas Lineares...
A função ψ(t) é conhecida como wavelet mãe.
A partir dela geram-se versões modificas no
decorrer da transformada.
Ela é um protótipo para a geração de outras
funções janela: versões dilatadas e comprimidas da
mesma "wavelet mãe".
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Wavelets: Entrando Na Onda
Banda passante constante (STFT)
f 2f 3f 4f ...
0 0 0 0
Banda passante relativa (Q) constante (WT)
f
f 2f 4f 8f ....
0 0 0 0
Figura. Análise Espectral com banco de Filtros:
(a) STFT e (b) WT.
f
Toos os filtros são da mesma família (e.g., filtros
BPFs Gaussianos, centrados em freqüências
distintas, porém todos com o mesmo fator de
qualidade Q).
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Wavelets: Entrando Na Onda
Wavelets Contínuas
Introdução a Transformada Contínua de Wavelet
A Transformada de Wavelet foi
desenvolvida como uma alternativa à STFT
para solucionar o problema da resolução.
Fixada a janela para a STFT, a resolução no
tempo (t) e na freqüência (f) permanecem constante
em todo o plano t-f.
CWT:
• Alta resolução temporal e baixa freqüêncial para
freqüências mais altas
• Alta resolução freqüêncial e baixa resolução
temporal para freqüências mais baixas.
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Wavelets: Entrando Na Onda
Freqüência Freqüência
Tempo
Tempo
(a) (b)
Figura . Resolução no plano t-f pela análise
(a) STFT (b) Transformada de Wavelet.
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A Transformada de Wavelet Contínua CWT
ψ(t) wavelet-mãe
ψ(t) ∈ L2(R). ∫ +∞ −∞
ψ
2
(t)dt
< +∞
Operações:
1 ⎛ t ⎞
a) escalonamento
ψ a
( t)
= ψ ⎜ ⎟
⎠
, a≠0.
| a |
⎝ a
b) deslocamento ψ
b( t)
= ψ ( t − b)
.
c) deslocamento com escalonamento
ψ
a
, b
( t)
= ψ
a
( t − b)
=
1 ⎛ t − b ⎞
⎜ ⎟
| a |
ψ
⎝ a ⎠
{ ψ ( t)}
→ { ψ a , b
( t)}
(∀a, a≠0) (∀b∈R).
versão:
Comprimida da wavelet mãe, se a1.
. ❏
24

Wavelets: Entrando Na Onda
O ajuste na amplitude do sinal escalonado foi
introduzido visando garantir a isomeria: todas as
ondelettes tem a mesma energia!
|| t
2
2
ψ ( t)
|| = || ψ a , b
( ) ||
.
Portanto, a escolha das wavelets como sendo
versões
1 ⎛ t − b ⎞
⎜ ⎟
| a |
ψ
⎝ a ⎠
garante a mesma energia para
qualquer wavelet!
Define-se
CWT(a,b):=∫ +∞ −∞
f
*
( t)
ψ a , b(
t)
dt
=< f(t),ψa,b>. ❏
Analogia com Fourier:
F(w)=∫ +∞ −∞
f
− jwt
( t)
e dt =< f(t),e jwt >.
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Wavelets: Entrando Na Onda
‣ Fourier F(w), em cada w:
Projeção de f(t) na direção das ondas { e
que constituem uma "base" do espaço de sinais.
jwt
} w∈R
Esta "base" de Fourier é composta por sinais
oscilatórios perpétuos - traduzindo o fato que
Fourier está associado a um comportamento nãolocal
no tempo, mas de -∞ a +∞.
‣ Wavelets:
a
( t
decomposição de f(t) em sinais {
, b
} *
a∈ R + b∈R
que constitui um novo conjunto de análise do
espaço de sinais.
Esta nova "base" é composta por sinais
oscilatórios de curta duração - e não sinais ab
aeterno.
A combinação oscilatório (daí o termo onda) e
de curta duração (inha) gera o termo ondinhas,
ondeletas, ondelettes no original, ou de forma já
consagrada, wavelets.
ψ
)
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Wavelets: Entrando Na Onda
Um critério para definir wavelets:
• Oscilatória (onda=wave), ou melhor, que seu
valor médio no domínio temporal é nulo.
∫ +∞ −∞
ψ
( t)
dt
= 0
• Condição de admissibilidade,
Dado o par transformada de Fourier:
ψ
( ) ↔ Ψ(
ω)
t ,
∞
∫
−∞
2
Ψ(
ω ) d ω < + ∞
ω
❏
Ψ
≡ ∫ + ∞
2
| ( ζ ) |
C ψ
dζ
−∞
| ζ |
<
+∞
=>
lim Ψ(
ζ ) = 0
ζ → 0 .
Ψ ( 0) = 0 => ∫ +∞ ψ ( t)
dt
−∞
= 0
.
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Wavelets: Entrando Na Onda
Caráter passa-faixa das wavelets interpretadas como
um banco de filtros, note os seguintes fatos:
Ψ ( 0) = 0 (pela admissibilidade)
Ψ ( ±∞)
= 0 (pois ψ é de energia finita).
Dado ε >0 arbitrário, ∃ α, β ∈ R, 0 < α < β <
+∞ tal que
|Ψ(w)| < ε para |w| < α e |w| > β. ❏
Existe uma banda passa-faixa na qual o espectro
Ψ pode ser essencialmente não nulo.
Figura. Comportamento de ) (w Ψ tipo passa-faixa.
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Wavelets: Entrando Na Onda
O escalonamento é o processo de
compressão e dilatação do sinal. O
parâmetro de escala "a" usado em Wavelets
tem interpretação grosso modo idêntica à
escala empregada em mapas cartográficos.
O termo |a|-1/2 é um fator de normalização da
energia do sinal e
transformada afim.
1 ⎛ t − b ⎞
ψ a , b(
t)
= ψ ⎜ ⎟,
a ≠
a ⎝ a ⎠
0
é uma
Uma wavelet
ψ
a, b
( t)
é definida por um
mapeamento afim unitário. Esta Wavelets são
versões transladadas (b) e dilatadas/comprimidas (a)
de uma mesma onda protótipo, chamada waveletmãe
ψ(t).
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Wavelets: Entrando Na Onda
Figura. A Wavelet-mãe Symmlet 8 em diferentes
escalas e localizações.
Uma Transformada inversa de Wavelet pode ser
obtida via
1
1 t
f ( t)
CWT ( a,
b)
(
C
∫ + ∞ +∞ ⎧
=
−∞∫
⎨ ψ
−∞
⎩ a
ψ
− b ⎫ dadb
) ⎬ 2
a ⎭ a
Uma das primeiras transformadas WT
corresponde a Wavelet de Morlet, cuja Wavelet
mãe é ψ(t)=exp(-t2/2).exp(jw 0 t). Note que ela
corresponde a um BPF gaussiano.
.
30

Wavelets: Entrando Na Onda
A Transformada Inversa (CWT -1 ) e a
Condição de Admissibilidade
Sejam f(t)∈ L2(R) e ψ a,b (t) ∈ L2(R-{0}× R).
Sob que condições é possível "pegar uma onda"
(catch the wave...)
Escolher uma wavelet protótipo tal que
ψ(t) ↔ Ψ(w) e
C
ψ
= ∫ ∞ |
+
−∞
Ψ(
ζ
| ζ
)|
|
2
dζ
< +∞
.
A wavelet utilizada no processo de reconstrução
é referida sempre como wavelet dual. Por isso ψ*(t)
é chamada de "dual" da wavelet ψ(t).
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Wavelets: Entrando Na Onda
Formula de inversão sob condições menos restritivas
Definição (Wavelets diádicas). Uma wavelet ψ(t) ∈
L2(R), ψ(t) ↔Ψ(w), é dita ser uma wavelet diádica
se e somente se satisfaz a condição de estabilidade,
i.e., ∃ A,B ∈R ⏐ 0

Wavelets: Entrando Na Onda
Exemplos: Um mar de Wavelets
Existe um grande número de funções que podem
ser eleitas como wavelets mãe.
Nome da família de Wavelets
'haar' Haar wavelet.
'db' Daubechies wavelets.
'sym' Symlets.
'coif' Coiflets.
'bior' Biorthogonal wavelets.
'rbio' Reverse biorthogonal wavelets.
'meyr' Meyer wavelet.
'dmey' Discrete approximation of Meyer wavelet.
'gaus' Gaussian wavelets.
'mexh' Mexican hat wavelet.
'morl' Morlet wavelet.
'cgau' Complex Gaussian wavelets.
'shan' Shannon wavelets.
'deO' de Oliveira wavelets.
'legd' Legendre wavelets.
'mth' Mathieu wavelets.
'fbsp' Frequency B-Spline wavelets.
'cmor' Complex Morlet wavelets. ❏
Wavelet de Haar
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Wavelets: Entrando Na Onda
Por simplicidade, considera-se um sinal
constante por partes. Bases de sinais constantes por
partes (e.g. Haar) podem ser mais adequadas.
ψ
( H )
( t)
: =
⎧
⎪ −
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪⎩
1
2
1
2
0
-1 < t ≤ 0
0 < t ≤ 1
caso contrário
.
Estas são versões do tipo "wavelet digital".
Figura. As Wavelets de Haar (oito wavelets).
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Wavelets: Entrando Na Onda
Figura. sinal 1-D de teste, constante por partes.
Wavelet Sombrero
Assumindo uma ρ(t) Gaussiana, segue-se que
ψ ( t)
= −ρ''(
t)
é a wavelet sombrero (chapéu
mexicano), por razões óbvias.
ψ
( Mhat)
2 −t
2( t −1)
e
( t)
=
1 / 4
π 3
2
/ 2
.
Figura. Wavelet Sombrero. Matlab ® .
Wavelet densidade Gaussiana
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Wavelets: Entrando Na Onda
Uma wavelet simples derivada da função
densidade gaussiana (gaus1) é dada por:
( fdG )
2te
ψ ( t ) = gaus
π
−t
1 : =
1 / 4
2
/
2
.
0.644
1
0.5
ψ( x)
0
0.5
− 0.644
1
10 5 0 5 10
− 8
x
8
Figura. Wavelet derivada da densidade de
probabilidade gaussiana: gaus1 e gaus8.
Wavelet complexa de Morlet
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Wavelets: Entrando Na Onda
Morlet propôs uma das primeiras wavelet de
interesse na análise de sinais.
Em sua investigação de sinais geofísicos
(exploração de petróleo), empregou a wavelet
complexa:
ψ
2
( Mor)
1 −t
/ 2 − jw0t
( t)
e e
1 / 4
= π
.
Figura. Wavelet complexa de Morlet.
(parte real e parte imaginária).
Wavelet de Shannon
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Wavelets: Entrando Na Onda
A análise correspondente aos filtros passa-faixa
ideais define uma decomposição usando wavelets
conhecidas como wavelets de Shannon.
Espectro da Wavelet real:
⎛ w − 3π / 2 ⎞ ⎛ w + 3π
/ 2 ⎞
Ψ(
w ) = ∏⎜
⎟ + ∏⎜
⎟
⎝ π ⎠ ⎝ π ⎠
.
Tomando a transformada inversa:
Assumindo t=2x+1,
( Sha)
⎛πt
⎞ ⎛ 3πt
⎞
ψ ( t)
= Sa⎜
⎟cos⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
.
ψ
( Sha)
( x)
=
2
π
sen(2π
( x
+ 1)) − sen(2πx)
2x
+ 1 .
38

Wavelets: Entrando Na Onda
ψ
No caso da wavelet complexa, pode-se usar
)
− j2πt
( t)
= Sinc(
t)
e .
( CSha
(a)
(b)
Figura. (a) Wavelet de Shannon. (b) A wavelet
complexa de Shannon (Matlab ® ).
Constata-se facilmente que esta wavelet tem
suporte infinito (i.é., ∄M tal que |ψ(t)|=0 ∀|t|>M).
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Wavelets: Entrando Na Onda
Wavelet de Meyer
A wavelet de Meyer é definida no domínio
freqüencial como:
Ψ(
w)
⎧
⎪
⎪
⎪
= ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
1 ⎡π
⎛ 3 | w | ⎞⎤
sen⎢
υ⎜
−1⎟⎥e
2π
⎣ 2 ⎝ 2π
⎠⎦
1 ⎡π
⎛ 3 | w | ⎞⎤
cos⎢
υ⎜
−1⎟⎥e
2π
⎣ 2 ⎝ 4π
⎠⎦
0
jw / 2
jw / 2
2π/3
≤|
4π/3
≤|
w | ≤
caso contrário.
4π/3
w | ≤ 8π/3
.
Figura. Wavelet de Meyer:
(a) função de escala (b) wavelet. Matlab ® .
40

Wavelets: Entrando Na Onda
Wavelets de Daubechies
Atrativos da análise de Fourier: ondas usadas na
decomposição são ortogonais.
As 1 as wavelets ortogonais obtidas, (Meyer,
Battle-Lemarié), não apresentam suporte compacto.
Haar são ortogonais e de suporte compacto,
porém não são diferenciáveis.
Um dos maiores desafios da teoria de wavelets
foi a construção de uma família de wavelets
ortogonais de suporte compacto.
Figura. Wavelets dbN de Daubechies (N=2,3,4, ...):
As Daublets Matlab ® .
41

Wavelets: Entrando Na Onda
Figura. Diversas versões de uma db2.
Estas formas de onda são ortogonais (!).
42

Wavelets: Entrando Na Onda
Wavelet Symmlets e Wavelet Coiflets
Coiflets e Symmlets são wavelets mais
simétricas as quais foram projetadas para garantir
momentos nulos tanto na função de escala φ(t)
quanto na wavelet-mãe ψ (t).
Elas foram criadas Daubechies sob demanda de
R. Coifman em 1989. São também wavelets de
suporte compacto.
Figura. Coiflets e Symmlets (coifn e symn); n é
número de momentos nulos.
43

Wavelets: Entrando Na Onda
Wavelet de "de Oliveira"
Possuem espectro típico passa-faixa ideal
(plano), com regiões de "rolamento" assimétricas,
porém mantendo a filosofia básica da análise a Q-
constante.
Mostra-se que a wavelet complexa de "de
Oliveira" é dada por
( deO)
− jw / 2 ( deO)
Ψ ( w)
= e S ( w).
,
( deO )
( deO)
onde | ( w)
| = S ( w)
Ψ .
Figura. Módulo da Wavelet de "de Oliveira"
44

Wavelets: Entrando Na Onda
( deO)
Figura. Wavelet ψ ( t)
: Parte real
( deO)
Figura. Wavelet ψ ( t)
: parte imaginária.
45

Wavelets: Entrando Na Onda
Wavelets Discretas
A CWT essencialmente mapeia um sinal
unidimensional (no tempo) em uma
representação bidimensional (tempo, escala)
que é altamente redundante.
As wavelets agora não são transladadas
nem escalonadas continuamente, mas sim em
intervalos discretos.
Isto pode ser feito com uma pequena
modificação na wavelet contínua.
ψ
a,
b
1 ⎛ t - b ⎞
1 ⎛ t − nb
( t)
ψ ⎜ ⎟ ⇒ψ
t = ⎜
m,n
( ) ψ
⎝ a ⎠
m
a
a ⎝ a0
o
=
m
0
a
m
0
⎞
⎟
⎠
onde m e n são inteiros, a 0 >1 é um parâmetro de
dilatação fixo, b 0 é o fator de translação fixo e b
depende agora do fator de dilatação.
46

Wavelets: Entrando Na Onda
A Transformada Discreta de Wavelets:
As Séries Wavelet de tempo contínuo (CTWS)
Formas discretas são atraentes do ponto de vista:
i) implementação e ii) computacional.
A discretização da WT
1) ocorre apenas no domínio dos
parâmetros (variáveis de escala e translação),
2) não na variável independente do sinal a
ser analisado (tempo ou espaço).
Retículado 2D no plano escala-translação:
A grade é indexada por dois inteiros m e n:
m => passos na escala discreta
n => passos das translações discretas.
Fixam-se dois valores dos passos, a 0 e b 0 .
47

Wavelets: Entrando Na Onda
Escala discreta (logarítmica): a=a 0 m m=1,2,3,...
Translações discretas: b=nb 0 a 0 m n=1,2,3,... dado m.
Assim
∫ + ∞
m
1 ⎛ t − nb
−∞
⎟ ⎞
0a0
WT( a,
b)
= CTWS(
m,
n)
: = f ( t)
ψ
⎜ dt
m
m
a ⎝ a0
⎠
0
. ❏
Note que:
f(t) e a wavelet-mãe são tempo contínuo,
coeficientes discretos CTWS(m,n) são discretos.
Diferentemente da CWT(a,b), as CTWS(m,n)
são definidas apenas para valores positivos de escala
(a 0 >0), porém esta restrição não é severa.
48

Wavelets: Entrando Na Onda
tipo
Assim, a DWT consiste em um mapeamento do
CTWS: L2(R) → l2(Ζ + -{0} × Ζ)
f(t) |→ CTWS(m,n)
Enunciado de outra forma: sinais contínuos de
energia finita são mapeados em uma grade
bidimensional de coeficientes de wavelet.
Interessante observar que a DWT é mais análoga
à uma representação em série de Fourier ao invés de
uma DFT:
• Série
∑ +∞
−∞ n=
F 0
e jnw
n
contínuo, com coeficientes discretos
N
1
f ( k)
e
2πnk
j
N
t
representação de tempo
• DFT ∑ − representação em tempo
k = 0
discreto, com espectro discreto.
49

Wavelets: Entrando Na Onda
Reticulado: A escolha da grade.
Os coeficientes da CWTS correspondem a
pontos num retículo no domínio escala-translação.
A grade é indexada por dois inteiros m e n,
controlando a discretização da escala e translado.
O reticulado uniforme no plano escaladeslocamento
é expresso por:
{(
ma0,
nb0
}
m n∈Z
∆
a , b
= )
,
0 0
.
Já o reticulado definido pelas wavelets no plano
escala deslocamento é o reticulado hiperbólico
{ }
m m
( a0
, na0
b0
m n∈Z
∆
a , b
=
)
,
0
0
m m
∆
2
= 2 , n2
)
, ∈
( .
{ } Caso diádico: a 0 =2 e b 0 =1 e ,1
m n Z
50

Wavelets: Entrando Na Onda
m (escala)
n (deslocamento)
Figura. Resolução de transformadas wavelets:
plano translação-escala.
A Transformada Discreta de Wavelets:
Séries Wavelets de Tempo Discreto (DTWS)
51

Wavelets: Entrando Na Onda
Além da discretização do plano escalatranslação,
a variável independente do sinal pode
também ser discretizada.
Neste caso, define-se:
1
∑ +∞ ⎛ k
WT( a,
b)
= DTWS(
m,
n)
: = f ( k)
ψ
⎜
m
a k = −∞ ⎝
0
− nb a
a
0
m
0
m
0
⎞
⎟
⎠
. ❏
Assim, as DTWS consiste em um mapeamento
do tipo
DTWS: l2(Ζ) → l2(Ζ + -{0} × Ζ)
f(k) |→ DTWS(m,n).
Enunciado de forma alternativa: sinais discretos
de energia finita são mapeados em uma grade
bidimensional de coeficientes.
52

Wavelets: Entrando Na Onda
Interessante observar que a DTWS é mais
análoga à uma representação do tipo DFT que em
série de Fourier.
O menor passo inteiro para a escala é a 0 =2. Usa-se
então este fator de escalonamento, o que é referido
como escalonamento diádico. O menor passo inteiro
de translação temporal é b 0 =1.
Wavelets diádicas:
−m
/ 2
+∞ ∑
k = −∞
DTWS(
m,
n)
= 2 f ( k)
ψ 2
(
−m
k − n)
.
53

Wavelets: Entrando Na Onda
Em resumo:
−1/
2
CWT(a,b)= ∫ + ∞ t − b
a f ( t)
ψ *( ) dt
−∞
a
CTWS(
m,
n)
−m
/ 2
∫ +∞ −∞
(
−m
2 t − n)
= 2 f ( t)
ψ dt
−m
/ 2
∑ +∞
k=
−∞
DTWS(
m,
n)
= 2 f ( k)
ψ 2
(
−m
k − n)
. ❏
54

Wavelets: Entrando Na Onda
Um Estudo de Caso:
Decomposição via Daubechies db2 para ECG
Decomposição wavelet (AMR) usando db2 para
um sinal ECG, com seis níveis de decomposição.
ECG
Figura. Análise de ECG com db2.
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Wavelets: Entrando Na Onda
A decomposição explicita visualmente, no nível 6, a
wavelet mãe db2.
Lembra decomposição em série de Fourier: Os
"harmônicos" aqui não são senoidais perpétuas,
mas versões de uma wavelet (e.g., ondas não
perpétuas).
Uma característica diferente: A 6 =S 6 (versão grosseira
ou passa-baixa), a qual devem ser adicionados os
detalhes (versão wavelet ou passa-faixa) para
compor a aproximação.
Maior grau de liberdade é conferido à
análise, pois o mesmo sinal pode ser
decomposto via um grande número de
diferentes wavelets, ao invés de sempre
ser decomposto em componentes
senoidais.
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Wavelets: Entrando Na Onda
Aplicações de Wavelets
Provocações... (!)
Wavelets em Descontaminação de Sinais
Infelizmente, descontaminação é um problema
difícil ⎯ não há fronteiras de distinção entre o sinal
e o ruído.
Métodos de descontaminação: suprimir
"algumas" componentes "incoerentes" com o sinal
de informação.
As wavelets tem se mostrado como ferramentas
importantes no combate e remoção de ruído.
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Wavelets: Entrando Na Onda
• sinal original f k
• ruído aditivo n k v.a. - ruído branco gaussiano.
• observações
Matricialmente, y=f+σn .
y
k
= fk
+ σnk
, k=0,1,2,...,K-1,
Aplicando-se a transformada de wavelets, obtém-se
DWT( y)
DWT(
f ) + σDWT(
n)
= .
Os coeficientes wavelet do ruído superpõemse
aos coeficientes wavelets do sinal.
SNR alta:
Eliminam-se as contribuições para a reconstrução do
sinal em que o ruído é "comparável" ao sinal,
mantendo apenas coeficientes wavelets onde a
contribuição do sinal é "importante".
É comum o uso de um limiar abrupto (hard
⎧0
se | x | ≤ T
C(
x)
=
threshold), ⎨
⎩x
caso contrário .
58

Wavelets: Entrando Na Onda
Algoritmo Waveshrink
P1. Fixe um nível m≥1 e normalize as observações
via
~ y = k
yk
/ Km
.
P2. Calcule a DWT da observações normalizadas.
P3. Aplique o operador C(x) nos coeficientes
wavelet obtidos.
O operador de encurtamento (shrinkage), C(x), é
definido por:
⎧|
x | −Tm se| x| > Tm
C( x ) = Sgn( x ). ⎨
⎩ 0 caso contrário ,
em que T m é um limiar.
P4. Efetue a transformada inversa de wavelet para
obter uma estimativa descontaminada do sinal
original. ❏
59

Wavelets: Entrando Na Onda
Figura. Waveshrink:
descontaminação de sinais usando wavelets.
Compressão via wavelets
A título de destacar a relevância das wavelets
como mecanismos de compressão:
‣ Inclusão no padrão internacional JPEG 2000.
‣ padrão do FBI (Federal Bureau of
Investigations) para o armazenamento de
impressões digitais.
60

Wavelets: Entrando Na Onda
Figura (a) Imagem original (261 KB); (b) Imagem
comprimida por JPEG (28 KB);
(c) Imagem comprimida wavelets (5KB).
61

Wavelets: Entrando Na Onda
Wavelets em Localização de Faltas em Linhas de
Transmissão
Wavelets constituem uma ferramenta poderosa na
detecção de faltas em linhas de transmissão,
inclusive na análise de faltas de difícil detecção
(e.g., faltas de alta impedância, faltas em linhas com
compensação série e faltas em linhas com
acoplamento mútuo).
A implementação de algoritmos de identificação
ou localização de faltas em linhas de transmissão
está baseada na configuração do sistema de
monitoramento dos sinais de tensão e/ou corrente na
linha de transmissão, através do uso de registradores
digitais de perturbação.
Entre Daubechies, Haar, Coiflet, Symmlet e
Biortogonal a wavelet escolhida foi a Sym2.
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Wavelets: Entrando Na Onda
• PRINCIPAIS DESENVOLVIMENTOS NA UFPE
Novas wavelets
Wavelets em GF(p)
Potenciais aplicações
Multiplex, Acesso múltiplo,
seqüências de DNA
Wavelet de "de Oliveira" Modulação digital, Modems ADSL
Wavelets de Chebyshev Análise em biomédica
(eletrogastrografia, ECG...)
Wavelets de Legendre Desenhos, Tomografia, RMN,
Imagens médicas
Wavelets de Mathieu Óptica, eletromagnetismo
(antenas...)
• IMPORTANTE E PODEROSA FERRAMENTA NA
ANÁLISE DE SINAIS
• NUMEROSAS APLICAÇÕES E PERSPECTIVAS
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