guia para professores da graduação da UFRGS - Grupo de ...

ENG03003 - Mecânica dos Sólidos I - Diretrizes para o semestre
2010/1
Jun S. O. Fonseca
29 de abril de 2010
Resumo
Este texto visa a melhor coordenação entre os professores de Mecânica dos Sólidos I, uma vez que a partir
de agora haverão muitas turmas e muitos professores. O objetivo principal é apresentar a fundamentação
losóca da disciplina, e como esta se reete em sua organização.
Sumário
1 Organização dos assuntos 2
2 Notação 4
3 Diferenças principais em relação aos livros clássicos 6
3.1 Ênfase em três ou quatro dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Ênfase na Elasticidade e Mecânica do Contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Convenção de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Dedução por hipóteses cinemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Resumo dos tópicos 8
4.1 Deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1.1 Revisão: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1.2 Deformações: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.3 Hipótese de deformações innitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.4 Mudança do sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1.5 Deformações Principais: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1.6 Decomposição em parte volumétrica e desviadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.1 Revisão de forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.2 Equações de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2.3 Transformação das Tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2.4 Tensões principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Relações constitutivas - Comportamento dos materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4 Critérios de falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4.1 Critérios de Escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4.2 Critérios de ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4.3 Princípio de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4.4 Princípio da superposição de efeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4.5 Energia de deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5 Problemas isostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5.1 Funções de singularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.6 Tração e compressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.7 Torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.7.1 Eixos de seção circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.7.2 Eixos de seção não circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.7.3 Aproximação para retângulos estreitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1

4.7.4 Torção de seções fechadas de parede na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.8 Flexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.8.1 Cálculo de momentos de Inércia (revisão) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.8.2 Energia de deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.8.3 Vigas com forças transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.8.4 Dimensionamento de vigas isostáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.9 Cisalhamento em Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.10 Deslocamentos em vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.10.1 Teoria de vigas de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1 Organização dos assuntos
A disciplina é dada segundo a seguinte seqüência:
1. Deformação
(a) Denição de deformação
(b) Notação de deformações - Tensor deformação innitesimal
(c) Transformação de deformações
(d) Deformações principais (às vezes apresentado junto com as tensões principais)
(e) Caso particular: elasticidade 2D
(f) Lista 2 de exercícios
2. Tensão
(a) Tipos de carregamento
(b) Denição de tensão
(c) Notação de tensões - Tensor tensão
(d) Equações de equilíbrio
(e) Transformação de tensões
(f) Caso particular: elasticidade 2D
(g) Fatores que afetam a distribuição de tensões
(h) Tensões principais
(i) Noção de coeciente de segurança
(j) Lista 1
3. Relações constitutivas - Comportamento dos materiais
(a) Denições
(b) Diagramas tensão - deformação
(c) Diagramas de engenharia
(d) Propriedades importantes
(e) Lei de Hooke generalizada
(f) Tipos de materias
(g) Princípio de Saint Venant
(h) Energia de deformação
(i) Trabalho externo
(j) Lista 3
2

4. Critérios de falha
(a) Teoria da máxima tensão cisalhante - Critério de Tresca
(b) Teoria da máxima energia de distorção - Critério de Henky-Mises
(c) Teoria da máxima tensão normal - Critério de Coulomb-Rankine
(d) Teoria de Mohr
(e) Outros
(f) Coecientes de segurança
(g) Lista 4
5. Isostática de Corpos Esbeltos
(a) Procedimento geral para solução de um problema isostático
(b) Convenções para vínculos e carregamentos
(c) Diagramas de esforços internos
(d) Equações de equilíbrio para membros esbeltos
(e) Solução de problemas por funções de singularidade
(f) Lista 5
6. Tração e Compressão de Barras
(a) Equações governantes - dedução das equações pela Teoria da Elasticidade
(b) Energia de deformação
(c) Dimensionamento de barras e cabos
(d) Concentração de tensões
(e) Lista s/n
7. Torção
(a) Equações governantes para eixo circulares
(b) Energia de deformação
(c) Dimensionamento de eixos submetidos à torção
(d) Ângulo de torção (eixos circulares)
(e) Torção de eixos não-circulares - Dedução das equações pela Teoria da Elasticidade
(f) Torção de seções fechadas de parede na
(g) Concentração de tensões
(h) Lista 6
8. Flexão
(a) Teorias mais comuns
(b) Equações governantes - Teoria de vigas de Euler-Bernoulli
(c) Energia de deformação
(d) Dimensionamento de membros sob exão
(e) Cálculo de momentos de inércia (revisão)
(f) Vigas de vários materiais
(g) Concentração de tensões
3

(h) Teoria de vigas de Timoshenko
(i) Lista 7
9. Deslocamentos em Vigas
(a) Equação da linha elástica
(b) Lista 10
10. Cisalhamento de Eixos e Vigas
(a) Equações governantes
(b) Distribuição de tensões cisalhantes em seções
(c) Energia de deformação
(d) Dimensionamento de membros sob cisalhamento
(e) Centro de torção
(f) Concentração de tensões
(g) Lista 8
11. Carregamentos Compostos
(a) Princípio da superposição de efeitos
(b) Lista 9
Observações: Na prática, gasta-se uma semana com uma breve revisão de estática (forças, deslocamentos).
2 Notação
A disciplina fará uma mudança para uma notação mais próxima à indicial no semestre que vem. Por enquanto,
utilizar-se-á uma notação intermediária. Embora com excessões, reserva-se letras gregas para escalares, letras
latinas minúsculas para vetores e letras latinas maiúsculas para tensores de ordem superior.
1. vetor posição:
⎧
⎨
p =
⎩
x
y
z
⎫
⎬
⎧
⎨
⎭ , p 0 =
⎩
x 0
y 0
z 0
⎫
⎬
⎭
2. vetor deslocamento:
⎧
⎨
d =
⎩
u (x, y, z, t)
v (x, y, z, t)
w (x, y, z, t)
⎫
⎬
⎭
3. matriz ortogonal própria (de rotação):
Q : QQ T = I
R : RR T = I
Esta matriz pode ser decomposta em três rotações simples em torno de cada eixo, como, por exemplo:
⎤
Q = Q x Q y Q z
⎡
1 0 0
⎡
0 senθ x cosθ x
= ⎣ 0 cosθ x −senθ x
⎦ ⎣
cosθ y 0 senθ y
⎤
0 1 0 ⎦
⎡
⎣
cosθ z −senθ z 0
senθ z cosθ z 0
0 0 1
⎤
⎦
4

4. força de superfície (N/m 2 = P a):
t =
⎧
⎨
⎩
t x
t y
t z
⎫
⎬
⎭
5. força de corpo (N/m 3 ):
⎧
⎨ b x
b = b y
⎩
b z
⎫
⎬
⎭
6. força resultante(N):
7. Momento de forças(Nm):
8. deformação innitesimal:
ε =
∇d − (∇d)T
2
¨
m =
⎡
= ⎢
⎣
¨
f =
S
1
2
1
2
S
˚
t dS + b dV
V
˚
p × t dS + p × b dV
V
(
∂u
∂u
∂x
∂y + ∂v
∂x
( ∂u
∂z + ∂w
∂x
ε ij = 1 2
)
)
1
2
1
2
( )
∂u
∂y + ∂v
∂x
(
∂v
∂v
∂y
∂z + ∂w
∂y
( ∂di
+ ∂d )
j
∂p j ∂p i
não se usa letras diferentes para as cisalhantes, e se mantém o 1/2.
9. deformação nita (de Green):
10. deformações principais:
E = 1 2
)
(
1 ∂u
2 ∂z + ∂w
(
∂x
1 ∂v
2 ∂z + ∂w
∂y
∂w
∂z
(
)
(∇p) T (∇p) − 1 = 1 (
)
(∇d + I) T (∇d + I) − 1
2
E ij = 1 2
(
∂d i
∂p j
+ ∂d j
∂p i
+
3∑
k=1
)
∂d k ∂d k
∂p j ∂p i
)
)
⎤
⎥
⎦
ελ = Xλ
(ε − λI) X = 0
det (ε − λI) = 0
onde X são autovetores (direções principais) e λ são autovalores (direções principais)
⎡
ε 1 0 0
⎤
0 0 ε 3
ε = ⎣ 0 ε 2 0 ⎦ , ε 1 ≥ ε 2 ≥ ε 3
11. normal externa (adimensional):
⎧
⎨ n x
n = n y
⎩
n z
⎫
⎬
⎭
5

⎤
12. Tensão de Cauchy:
t = σn
onde
⎡
σ xx σ xy σ xz
σ zx σ zy σ zz
σ = ⎣ σ yx σ yy σ yz
⎦ .
Não se usa letras diferentes para as cisalhantes. No entanto, usa-se a letra τ para uma tensão cisalhante
genérica, em algumas ocasiões.
13. Equações de equilíbrio:
ou
∂σ xx
∂x
∂σ xy
∂x
∂σ xz
∂x
+ ∂σ yx
∂y
+ ∂σ yy
∂y
+ ∂σ yz
∂y
∇ · σ + b = 0
+ ∂σ zx
∂z + b x = 0
+ ∂σ zy
∂z + b y = 0
+ ∂σ zz
∂z + b z = 0
14. Constantes elásticas: Módulo de Young (ou módulo de elasticidade longitudinal) E, coeciente de Poisson
ν, constantes de Lamé λ e µ, módulo de elasticidade transversal G ou µ, e módulo volumétrico κ.
15. Funções de singularidade: A maior parte dos livros usam a notação de Macaulay de 1919 〈x − a〉 n . Nesta
disciplina, faz-se a conexão com a notação utilizada nas disciplinas de matemática, isto é, a função de
Heaviside (degrau unitário) H (x − a) e Dirac (impulso unitário) δ (x − a). As derivadas são representadas
pelas notações convencionais d ou ′ dx
.
3 Diferenças principais em relação aos livros clássicos
Algumas diferenças fundamentais são implementadas nesta disciplina em relação ao conteúdo da maioria dos
livros textos existentes. Elas se reetem a gradual migração da disciplina para se basear na Mecânica do Contínuo
e atender melhor a Engenharia Mecânica, onde geometrias simples facilmente identicáveis como vigas ou barras
ocorrem com pouca freqüência. O engenheiro mecânico deve ser preparado para ser capaz de operar programas
computacionais de análise estrutural, utilizando teorias estruturais e a elasticidade.
3.1 Ênfase em três ou quatro dimensões
Na Engenharia Mecânica, a maioria dos problemas é tridimensional, completamente dinâmico ou ao menos
com vibrações. Desta maneira, é imperativo enfatizar a abordagem dinâmica e tridimensional da Mecânica dos
Sólidos. Casos bidimensionais estáticos são excelentes exemplos, mas devem ser apresentados com ressalvas.
Métodos exclusivamente bidimensionais devem ser apresentados com muitas ressalvas (especialmente o círculo
de Mohr e fórmulas prontas de rotação).
Apesar de não constarem no programa atual, exemplos dinâmicos simples devem ser apresentados em barras
e vigas. Sempre que possível, ressaltar que todas a variáveis (forças, deslocamentos, deformações e tensões) são
funções da posição (as três coordenadas materiais) e do tempo.
3.2 Ênfase na Elasticidade e Mecânica do Contínuo
As deduções das equações de barra, viga e torção devem ser apresentadas através da aplicação das hipóteses
cinemáticas e dinâmicas nas equações da Elasticidade.
O conceito de tensão deve ser apresentado não somente através de um cubo innitesimal, como também a
partir da fórmula de Cauchy.
As equações de equilíbrio e movimento devem ser deduzidas também através do equilíbrio integral de um
corpo. A relação entre a mecânica dos sólidos com a mecânica dos uidos deve ser lembrada.
6

3.3 Convenção de sinais
Figura 1: Convenção de sinais
A Engenharia Mecânica normalmente coloca os eixos com o z para cima. Não há uma convenção única para os
sinais de momentos e forças cortantes. Desta maneira, deve-se apresentar uma convenção de sinais mas enfatizar
que outras são possíveis.
A convenção de sinais mais coerente vem da denição de tensão. Toma-se um corpo e corta-se com um plano
(gura1). Dada a fórmula de Cauchy
t = σn ,
onde t é a força interna de superfície, σ é a tensão de Cauchy e n a normal externa da superfície, a resultante
da força interna t na superfície do corte é dada por
¨
f = t dS
que pode ser decomposta em uma componente normal (força normal) e duas tangenciais (forças cortantes). O
momento da força na superfície em relação ao seu centróide é dado por
¨
m = p × t dS
S
que pode ser decomposto em uma componente normal (momento torçor) e duas componentes tangenciais (momentos
etores).
Na situação mais comum (gura2), a tensão é dada por
S
que coincide com o esforço interno
Integrando na seção, isto resulta em
σ xx = −Ey d2 v
dx 2
t x = σ xx = −Ey d2 v
dx 2 .
¨
f x =
S
t x dydz = 0
7

Figura 2: viga comum
pelo fato do eixo ser centroidal. O momento resultante pode ser calculado como
⎧ ⎫ ⎫
¨ ⎨ ⎬ ⎬
ou ainda
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
m =
S
m x
m y
m z
⎫
⎬
⎭ = ¨S
m x
m y
m z
⎫
⎬
⎭ = ¨S
⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
0
y
z
m z = EI zz
d 2 v
dx 2
⎧
⎨ t x
⎭ × 0
⎩ ⎭ dydz
0
⎫
⎬
⎭ dydz
0
z t x
−y t x
0
0
y 2 E d2 v
dx 2
σ xx = −y m z
I zz
,
m z = −P (L − x0)
⎫
⎬
⎭ dydz
onde o sinal que aparece na dedução consistente não é o usualmente encontrado em livros.
Deixando-se esta explicação pernóstica de lado, na prática isto signica que uma convenção consistente de
sinais toma a resultante de forças e momentos aplicados pelo lado direito da peça sobre a seção. No entanto, esta
não é a convenção mais usada pelos livros. Normalmente se utiliza a convenção contrária, isto é, a resultante
pelo lado esquerdo.
Resultado: não há como não confundir os alunos, pois livros diferentes trazem convenções diferentes! Só é
importante explicar a diversidade de convenções.
3.4 Dedução por hipóteses cinemáticas
A maior parte das deduções deve ser feita a partir de hipóteses cinemáticas. A maior parte dos livros preferem
as hipóteses sobre as forças. Isto será melhor explicitado no decorrer deste texto.
ste text.
4 Resumo dos tópicos
Apresenta-se agora um resumo dos tópicos para ns de harmonizar a notação e as convenções de sinais entre os
professores. Destacam-se os temas não encontrados normalmente nos livros texto.
8

4.1 Deformação
4.1.1 Revisão:
A apresentação deste tópico é precedida de uma revisão de cinemática.
Posição: o vetor posição localiza um ponto material em relação a uma referência. Em uma descrição de um
movimento, este vetor é uma função do tempo.
⎧
⎨
p =
⎩
x (t)
y (t)
z (t)
⎫
⎬
⎧
⎨
⎭ , p 0 =
⎩
Normalmente se simplica a notação de p (t = 0) por p 0 .
Deslocamento: a variação da posição. É uma função da posição e do tempo.
x 0
y 0
z 0
⎫
⎬
⎭
⎧
⎨
⎩
d (x, y, z, t) = p − p 0
⎫
⎬
u (x, y, z, t)
v (x, y, z, t)
w (x, y, z, t)
⎭ = ⎧
⎨
⎩
x − x 0
y − y 0
z − z 0
⎫
⎬
⎭
Destacar que a representação do deslocamento (e qualquer outra variável da mecânica) como uma função
contínua do espaço e do tempo implica na Mecânica do Contínuo. O corpo é considerado um meio contínuo no
espaço e tempo, onde há material em qualquer coordenada. As propriedades materiais variam continuamente.
Apesar desta hipótese ser obviamente furada, a possibilidade de tomar limites (e utilizar o poder do Cálculo) a
justicam.
Apresenta-se aqui vários exemplos de deslocamentos (incluir desenhos de cubinhos unitários se movendo):
⎧
⎨
ˆ translação unidimensional: d =
⎩
⎧
⎨
ˆ translação geral: d =
⎩
u (t)
v (t)
w (t)
⎧
⎨
ˆ dilatação uniforme: d =
⎩
⎫
⎬
⎭
α (t) x
α (t) y
α (t) z
u (t)
0
0
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎧
⎨
ˆ extensão (ou contração) pura em x: d =
⎩
⎧
⎨
ˆ distorção pura no plano xy: d =
⎩
⎭
γ (t) y
0
0
α (t) x
0
0
⎫
⎬
⎭
Introduz-se neste ponto a simplicação da Estática. A dependência do tempo é ignorada e o sistema é descrito
apenas pela posição inicial e nal. Explicar as implicações: desrespeita o princípio da conservação de energia,
e torna difícil qualquer análise dinâmica. Simplica bastante as equações. Serve para fenômenos que ocorrem
muito lentamente ou para sistemas após o amortecimento ter dissipado toda energia cinética. Pode servir para
sistemas dinâmicos através do uso de coecientes de segurança.
Apresentam-se outros exemplos de deslocamento, já dentro da estática:
⎧
⎨
ˆ extensão simples em x: d =
⎩
αx
βy
βz
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎭
9

⎧
⎨
ˆ distorção pura no plano xy: d =
⎩
⎧
⎨
ˆ rotação pura em torno de z: d =
⎩
4.1.2 Deformações:
0
γx
0
Figura 3: deformação
⎫
⎬
⎭
x cosθ z − y senθ z − x 0
x senθ z + y cosθ z − y 0
0
⎫
⎬
⎭ = Qp 0 − p 0
Deformação é apresentada como uma medida matemática da mudança de forma de um elemento de volume.
Esta mudança de forma pode ser representada como uma mudança de comprimento de um elemento qualquer
de linha (gura 3). Do Cálculo, um elemento de linha é dado por ds e na conguração inicial por ds 0 . Mas
a posição nalp é uma função da posição inicial p 0 , e a transformação da posição nal para a inicial pode ser
interpretada matematicamente como um mapeamento, expresso através de seus gradientes (a matriz jacobiana).
No caso, o gradiente de um vetor é um tensor, o gradiente de deformações, representado por F.
F ij = ∂p i
F =
e o elemento de linha na posição nal é dado por
⎧
⎨
ds =
⎩
∂p 0j
⎡
⎢
⎣
dx
dy
dz
∂x
∂x 0
∂y
∂x 0
∂z
∂x 0
O quadrado do comprimento (euclidiano) é dado por
⎫
⎬
∂x
∂y 0
∂y
∂y 0
∂z
∂y 0
∂x
∂z 0
∂y
∂z 0
∂z
∂z 0
⎭ = Fds 0 .
‖ds‖ 2 2
= (ds) T (ds)
= (ds 0 ) F T F (ds 0 )
e a metade da diferença entre os comprimentos nal e inicial é dado por
1
(
)
‖ds‖ 2 2
2
− ‖ds 0‖ 2 2
= (ds 0 ) 1 (
F T F − I ) (ds 0 )
2
10
⎤
⎥
⎦

onde dene-se o tensor de deformações de Green(-Lagrange) como uma relação entre as diferenças dos comprimentos
de linha por
E = 1 (
F T F − I ) .
2
Em termos de componentes, o tensor de deformações de Green se escreve como:
( 3∑
)
E ij = 1 ∂p k ∂p k
− δ ij
2 ∂p 0i ∂p 0j
k=1
onde o delta de Kronecker é denido como a identidade por
{
0 se i ≠ j
δ ij =
1 se i = j
.
Substuindo p = d + p 0 na relação anterior e usando a propriedade de que ∇p 0 = I, resulta em
E = 1 (
)
∇d + (∇d) T + (∇d) T ∇d
2
(
)
E ij = 1 ∂d i
+ ∂d 3∑
j ∂d k ∂d k
+
2 ∂p 0j ∂p 0i ∂p 0i ∂p 0i
ou componente por componente
(
E 11 = 1 2 ∂u ( ) 2 ( ) 2 ( ) ) 2 ∂u ∂v ∂w
2 ∂x + + +
∂x ∂x ∂x
(
E 22 = 1 2 ∂v ( ) 2 ( ) 2 ( ) ) 2 ∂u ∂v ∂w
2 ∂y + + +
∂y ∂y ∂y
(
E 33 = 1 2 ∂w ( ) 2 ( ) 2 ( ) ) 2 ∂u ∂v ∂w
2 ∂z + + +
∂z ∂z ∂z
E 12 = 1 ( ∂u
2 ∂y + ∂v
∂x + ∂u ∂u
∂x ∂y + ∂v ∂v
∂x ∂y + ∂w )
∂w
∂x ∂y
E 13 = 1 ( ∂u
2 ∂z + ∂w
∂x + ∂u ∂u
∂x ∂z + ∂v ∂v
∂x ∂z + ∂w )
∂w
∂x ∂z
E 23 = 1 ( ∂w
2 ∂y + ∂v
∂z + ∂u ∂u
∂z ∂y + ∂v ∂v
∂z ∂y + ∂w )
∂w
∂z ∂y
Um problema que aparece neste tópico é que os conceitos de cálculo vetorial estão sendo vistos simultaneamente
com a disciplina de Matemática Aplicada. Normalmente o professor tem que apresentar os operadores de
gradiente e divergente.
4.1.3 Hipótese de deformações innitesimais
Neste caso, considera-se que as derivadas dos deslocamentos sejam bastante pequenas, ou pelo menos sucientemente
pequenas para desconsiderar os produtos de derivadas. Desta forma o tensor de deformações de Green
se simplica para o tensor de deformações innitesimais ε:
ε = 1 2
ε ij = 1 2
k=1
(∇d + (∇d) T )
( ∂di
+ ∂d )
j
∂p j ∂p i
11

ou em componentes
ε 11 = ∂u
∂x
ε 22 = ∂v
∂y
ε 33 = ∂w
∂z
ε 12 = 1 ( ∂u
2 ∂y + ∂v )
∂x
ε 13 = 1 ( ∂u
2 ∂z + ∂w )
∂x
ε 23 = 1 ( ∂w
2 ∂y + ∂v )
∂z
O tensor innitesimal pode ser uma aproximação muito boa na maior parte das situações de engenharia
mecânica, mas sempre deve-ser ressaltar que vale apenas para pequenas deformações. Um exemplo claro das
limitações aparece na rotação pura, por exemplo em torno de z.
na qual pode-se desenvolver como:
⎧
⎨
d =
⎩
x cosθ z − y senθ z − x 0
x senθ z + y cosθ z − y 0
0
d = Qp 0 − p 0 ⇒
∇d = Q − I
o tensor de Green ca (corretamente)
E = 1 (
)
Q − I + (Q − I) T + (Q − I) T (Q − I)
2
= 1 (
Q − I + Q T − I + Q T Q − Q T − Q + I )
2
= 0
e o innitesimal ca
⎫
⎬
ε = 1 (∇d )
+ (∇d) T
2
= 1 (
Q − I + Q T − I )
⎡
2
cosθ z − 1 0 0
⎤
ε = ⎣ 0 cosθ z − 1 0 ⎦
0 0 cosθ z − 1
ou seja, aponta erroneamente uma contração nos três eixos. A ordem de grandeza do erro pode facilmente chegar
próxima às deformações usuais em engenharia, por exemplo se o ângulo θ z for próximo a 1 ◦ , que resulta em
cos 1 ◦ − 1 = 1, 52 × 10 −4 . Ou seja, em um movimento de corpo rígido sem deformação, o tensor innitesimal
erroneamente aponta uma deformação compressiva enorme.
A partir daqui, usa-se somente o tensor innitesimal, embora sempre que possível deve se ressaltar a possibilidade
de erros.
Informar que a conguração inicial e nal se confundem, e não haverá mais uma diferenciação entre elas.
Interpretação geométrica do tensor innitesimal:
Inserir aqui o que se encontra em qualquer livro. Diferenciar as componentes normais (extensões) das
componentes tangenciais (distorções).
Apresentar os exemplos de deslocamento anteriores:
12
⎭

⎧
⎨
ˆ translação unidimensional: d =
⎩
⎧
⎨
ˆ translação geral: d =
⎩
u (t)
v (t)
w (t)
⎧
⎨
ˆ dilatação uniforme: d =
⎩
u (t)
0
0
⎫ ⎡
⎬
⎭ ⇒ ε = ⎣
α (t) x
α (t) y
α (t) z
⎧
⎨
ˆ extensão (ou contração) pura em x: d =
⎩
⎧
⎨
ˆ distorção pura no plano xy: d =
⎩
⎧
⎨
ˆ extensão simples em x: d =
⎩
αx
βy
βz
⎧
⎨
ˆ distorção pura no plano xy: d =
⎩
⎫ ⎡
⎬
⎭ ⇒ ε = ⎣
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎫ ⎡
⎬
⎭ ⇒ ε = ⎣ α (t) 0 0
0 α (t) 0
0 0 α (t)
γ (t) y
0
0
α (t) x
0
0
⎤
⎦
⎫ ⎡
⎬
⎭ ⇒ ε = ⎣
⎤
⎦
⎫ ⎡
⎬
⎭ ⇒ ε = ⎣
⎫ ⎡
⎬
⎭ ⇒ ε = ⎣ α 0 0
0 β 0
0 0 β
0
γx
0
4.1.4 Mudança do sistema de coordenadas
⎫ ⎡
⎬
⎭ ⇒ ε = ⎣
1
0
1
⎤
⎦
α (t) 0 0
0 0 0
0 0 0
⎤
2 γ (t) 0
⎦
2 γ (t) 0 0
0 0 0
⎤
⎦
1
0
1
2 γ 0
2 γ 0 0
0 0 0
Apresenta-se aqui as mudanças de coordenadas: Mostrar que a mudança de origem não faz a menor diferença
no deslocamento e deformações, mas que a rotação do sistema faz. Esta rotação se representa como (deduzir em
aula):
ˆ posição e deslocamentos: p ′ = Q T p
ˆ deformação: ε ′ = QεQ T
4.1.5 Deformações Principais:
⎧
⎨
⎩
i ′
j'
k ′
⎫
⎬
⎭ = Q ⎧
⎨
⎩
d ′ = Q T d
O tensor deformação representa uma transformação de um elemento de linha. Se este tensor for diagonal, isto
signica que o elemento de linha se extende ou se contrai sem mudar de direção. Pela matemática, sempre
existem ao menos três direções na qual o elemento de linha somente se extende. Isto é escrito como
εX = λX
onde X é um elemento de linha, que após se deformar (εX), continua na mesma direção, isto é, é um múltiplo
de si mesmo (λX).
Matemáticamente, isto é um problema de autovalores λ e autovetores X do tensor de deformações, que se
desenvolve como:
i
j
k
⎫
⎬
⎭
εX = λX
εX − λIX = 0
(ε − λI) X = 0
⇒
det (ε − λI) = 0
13
⎤
⎦
⎤
⎦

de onde se calculam os valores de λ para que ε − λI seja singular. Para isto se resolve as raízes do polinômio
que resulta do determinante. Estas raízes são sempre reais (pois a deformação é simétrica), mas podem ser
repetidas. Explicar o que representam as raízes repetidas.
Depois de alguns exemplos, apresenta-se o círculo de Mohr como um dispositivo para casos bidimensionais.
4.1.6 Decomposição em parte volumétrica e desviadora
Qualquer tensor de segunda ordem pode ser decomposto de várias maneiras. As mais úteis são a decomposição
polar e a decomposição em parte esférica e desviadora. Esta última visa a separar os efeitos de mudança pura
de volume e a mudança de forma:
ε = ε s + ε d
onde
ou por extenso:
ε s =
ε d =
⎡
⎣
⎡
⎣
ε xx+ε yy+ε zz
ε s = 1 tr (ε) I
3
ε d = ε − ε s
3
0 0
ε
0
xx+ε yy+ε zz
3
0
0 0
2ε xx−ε yy−ε zz
ε xx+ε yy+ε zz
3
3
ε xy ε xz
ε xy
−ε xx+2ε yy−ε zz
3
ε yz
ε xz ε yz
−ε xx−ε yy+2ε zz
3
⎤
⎦
⎤
⎦ .
Como exemplos, a dilatação pura só tem a parte volumétrica, a distorção pura só tem a parte desviadora e a
extensão simples ca:
⎡ ⎤
α 0 0
ε = ⎣ 0 β 0 ⎦ ⇒
0 0 β
⎡ ⎤
ε s = α + 2β 1 0 0
⎣ 0 1 0 ⎦
3
0 0 1
⎡
2α−2β
⎤
3
0 0
ε d = ⎣
−α+β
0
⎦
0 0
de onde se conclui que se β = − 1 2α, a parte volumétrica é nula.
4.2 Tensões
3
0
Este é um dos temas mais difíceis da engenharia. Segundo o prof. Luiz T. V. Pereira, da UFSC, a maioria dos
engenheiros formados não conseguem denir o que é tensão.
4.2.1 Revisão de forças
Segundo os livros de Física, força é a ação de um corpo sobre outro. Sua existência é comprovada apenas por
seus efeitos, como aceleração ou deformação.
Na mecânica dos sólidos, as forças são sempre distribuídas. As forças concentradas só existem como aproximações,
seja como resultantes ou no contexto do princípio de Saint Venant.
−α+β
3
14

As forças podem ser distribuídas em um todos os pontos de uma região de um corpo. Neste caso são chamadas
de forças de corpo, e denidas como força por unidade de volume.
⎧
⎫
⎨ b x (x, y, z, t) ⎬ (
b = b y (x, y, z, t) N/m
3 ) .
⎩
⎭
b z (x, y, z, t)
Normalmente a força de corpo é externa (isto é, aplicada por outro corpo). Os tipos mais comuns de forças de
corpo são a gravidade e o magnetismo. A gravidade é normalmente considerada constante em valor e direção
para corpos pequenos próximos a superfície terrestre. A resultante de uma força de corpo é dada por
˚
f = b dV .
As forças distribuídas mais importantes são as de superfície. Elas são aplicadas em uma superfície do corpo.
As forças externas mais comuns de superfície são as de contato mecânico e as de campo elétrico.
⎧
⎫
⎨ t x (x, y, z, t) ⎬ (
t = t y (x, y, z, t) N/m
2 ) .
⎩
⎭
t z (x, y, z, t)
A resultante de uma força de superfície é dada por
¨
f =
t dS .
Um aspecto importante das forças de superfície é a denição de força interna. Se um corpo for partido
por uma superfície, é de se esperar que haja uma distribuição de forças sobre esta superfície, representando
as forças que estão sendo transmitidas de uma parte do corpo à outra. A esta distribuição damos o nome de
forças internas, e são sempre de superfície pois a fronteira entre duas partes de um corpo é uma superfície. As
resultantes de forças e momentos internos recebem nomes como força normal, força cortante, momento etor e
momento torçor.
Em um ponto do corpo, a força interna varia conforme a orientação do plano de corte. Dá-se o nome de
tensão ao ente matemático que relaciona a força interna em um ponto com a orientação do plano de corte. Esta
relação é dada pela fórmula de Cauchy para o caso mais simples, na qual se admite uma transformação linear
entre força interna e orientação:
t = σn
onde t é a força interna, σ é a tensão de Cauchy n é o vetor normal adimensional que dá orientação do plano de
corte. Em componentes:
⎧ ⎫ ⎡
⎨ t x ⎬
t y
⎩ ⎭ = ⎣ σ ⎤ ⎧ ⎫
xx σ xy σ xz ⎨ n x ⎬
σ yx σ yy σ yz
⎦ n y
⎩ ⎭
t z σ zx σ zy σ zz n z
⎧
⎨ t x = σ xx n x + σ xy n y + σ xz n z
t y = σ yx n x + σ yy n y + σ yz n z
⎩
t z = σ zx n x + σ zy n y + σ zz n z
de onde se observa que o primeiro índice do tensor tensão se refere à direção da força interna e o segundo índice
se refere à direção normal do plano de corte.
Ressaltar que o tensor de tensões de Cauchy é uma medida Euleriana, isto é, refere-se à conguração atual
(deformada).
Apresentar aqui o cubinho com as componentes de forças internas. Ressaltar os sinais das normais.
Explicar a importância da denição de tensão como fundamental para descrever o comportamento de um
material. Correlacionar com a microestrutura de um material.
15

4.2.2 Equações de Equilíbrio
As equações de equilíbrio são deduzidas diretamente. Seja a somatória de todas as forças distribuídas igual a
zero
˚
¨
b dV +
f = 0
t dS = 0 .
Utilizando a fórmula de Cauchy e transformando a integral de superfície em integral de volume, obtém-se:
˚ ¨
b dV + σn dS = 0
˚ ˚
b dV + ∇ · σ dV
˚
(∇ · σ + b) dV = 0 .
Utilizando o argumento que cada parte do corpo tem que estar em equilíbrio, elimina-se a integral e resulta em:
∇ · σ + b = 0 em V.
O equilíbrio dos momentos
˚
¨
p × b dV +
p × f = 0
p × t dS = 0
resulta que o tensor tensão de Cauchy deve ser simétrico.
Um problema que aparece nesta parte é que os teoremas integrais ainda estão sendo vistos simultaneamente
em Matemática Aplicada. O professor de Mecânica dos Sólidos tem que explicar a transformação da integral de
volume em integral de superfície (fórmula de Gauss).
Deduzir agora pelo método tradicional do equilíbrio de um cubinho diferencial.
4.2.3 Transformação das Tensões
O mesmo esquema da transformação das deformações, com a vantagem adicional que é mais fácil de entender
utilizando a fórmula de Cauchy e rotacionando individualmente cada vetor.
t ′ = Qt
n ′ = Qn
que aplicadas na fórmula de Cauchy para o novo sistema
de onde se conclui
t ′ = σ ′ n ′
Qt = σ ′ Qn
t = Q T σ ′ Qn
σ = Q T σ ′ Q
σ ′ = QσQ T .
16

4.2.4 Tensões principais
O mesmo esquema das deformações principais, com a vantagem de uma interpretação física mais inteligível.
Neste caso, as direções principais podem ser denidas como as direções nas quais a força interna está alinhada
com a normal. Desta forma,
e pode-se chegar a
t = λn
σn = λn
σn − λn = 0
(σ − λI) n = 0
det (σ − λI) = 0 .
As tensões principais são os autovalores e as direções principais são os autovetores.
Apresentam-se alguns casos tridimensionais e depois se mostra o círculo de Mohr para casos bidimensionais.
4.3 Relações constitutivas - Comportamento dos materiais
As relações constitutivas devem ser apresentadas de uma maneira geral e abrangente, antes de ser particularizadas
para a elasticidade isotrópica innitesimal linear. Deve-se citar a piezoeletricidade, eletro-estricção, magnetismo,
mudanças de fase, uidos newtonianos, visco-elasto-plasticidade, termoelasticidade, etc. Isotropia, anisotropia e
ortotropia devem ser citados...
Um ensaio de tração é mostrado com os vários comportamentos de material. Deve-se apresentar os conceitos
habituais de
ˆ Elasticidade
ˆ Proporcionalidade
ˆ Plasticidade
ˆ Retorno Elástico
ˆ Encruamento
ˆ Estricção
ˆ Ruptura
ˆ Tensão real e tensão de engenharia (nominal)
De preferência correlacionar o gráco com a microestrutura de um aço. Mostrar discordâncias se movendo, a
linhas de deslizamento de planos cristalinos, as inclusões impedindo este deslizamento, a formação de microvazios,
o coalescimento destes micro-vazios.
Denir uência, viscoelasticidade e suas aplicações. Denir hiperelasticidade e as aplicações em borrachas e
biomecânica. Citar que estão em Mecânica dos Sólidos IV.
Denir anisotropia e relacionar com materiais compostos. Citar que estão em Mecânica dos Sólidos III.
Escreve-se nalmente a lei de Hooke generalizada para a região elástica e particulariza-se para a isotropia.
σ ij =
3∑ 3∑
C ijkl ε kl
k=1 l=1
σ ij = λδ ij
( 3∑
k=1
ε kk
)
+ 2Gε ij
17

por extenso ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
σ xx = (λ + 2G) ε xx + λε yy + λε zz
Figura 4: exemplo
onde
λ =
G =
νE
(1 + ν) (1 − 2ν)
E
2 (1 + ν)
σ yy = λε xx + (λ + 2G) ε yy + λε zz
σ zz = λε xx + λε yy + (λ + 2G) ε zz
σ xz = 2Gε xz
σ yz = 2Gε yz
σ xy = 2Gε xy
e a relação inversa ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
ε xx =
1
E σ xx − ν E σ yy − ν E σ zz
ε yy = − ν E σ xx + 1 E σ yy − ν E σ zz
ε zz = − ν E σ xx − ν E σ yy + 1 E σ zz
ε xz =
1
2G σ xz
ε yz =
1
2G σ yz
ε xy =
1
2G σ xy
A seguir se mostra-se vários exemplos, nos quais a partir de um campo de deslocamento chega-se às tensões,
forças de corpo e forças de superfície. Por exemplo: seja um cubo de aço com dimensões de 0, 2 × 0, 2 × 0, 2m
com o seguinte deslocamento (gura 4 )
As deformações serão dadas por
d = 10 −4 ⎧
⎨
⎩
⎡
ε = 10 −4 ⎣
= 10 −4 ⎡
⎣
−5x 2 + 3x + y − 2z
3yx
4zx
⎫
⎬
.
⎭ m .
1
−10x + 3
2 (1 + 3y) ⎤
1
2
(−2 + 4z)
1
2 (1 + 3y) 3x 1
2
(0 + 0) ⎦
1
2 (−2 + 4z) 1
2 (0 + 0) 4x
1
−10x + 3
2 + ⎤
3
2y −1 + 2z
1
2 + 3 2 y 3x 0 ⎦ .
−1 + 2z 0 4x
18

Dadas as propriedades elásticas do aço como E = 210GP a e ν = 0, 3, pode-se calcular
e calcular a tensão de Cauchy:
que resulta em
⎡
σ = ⎣
λ =
G =
νE
= 121, 15GP a
(1 + ν) (1 − 2ν)
E
= 80, 769GP a
2 (1 + ν)
σ = λtr (ε) I + 2Gε
−197, 88x + 84, 807 8, 0769 + 24, 231y −16, 154 + 32, 308z
8, 0769 + 24, 231y 12, 115x + 36, 346x 0
−16, 154 + 32, 308z 0 28, 269x + 36, 346
As forças de corpo saem das equações de equilíbrio:
ˆ face normal a +x: t 1 = σ| x=0,2m
⎧
⎨
⎩
b = −∇
⎧
· σ
⎫
⎨ 141, 35 ⎬
= 0
⎩ ⎭ MN/m3
0
e as forças de superfície são calculadas pela fórmula de Cauchy para cada face do corpo.
⎫
⎫
⎬
⎬
ˆ face normal a -x: t 2 = σ| x=0m
⎧
⎨
⎩
ˆ face normal a +y: t 3 = σ| y=0,2m
⎧
⎨
⎩
−1
0
0
ˆ face normal a y: t 4 = σ| y=0m
⎧
⎨
⎩ − 0
1
0
ˆ face normal a +z: t 5 = σ| z=0,2m
⎧
⎨
⎩
ˆ face normal a -z: t 6 = σ| z=0m
⎧
⎨
⎩
Resultantes em cada face:
ˆ face normal a +x:
f 1 =
=
=
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⎭ = ⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭ = ⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎫
⎬
⎫
⎬
⎭ = ⎧
⎨
⎩
⎭ = ⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭ = ⎧
⎨
⎩
⎭ = ⎧
⎨
⎩
ˆ y=0,2 ˆ z=0,2
y=0 z=0
⎧
ˆ 0,2 ˆ 0,2
0
⎧
⎨
⎩
0
1809
420
−516, 9
45, 231
8, 0769 + 24, 231y
−16, 154 + 32, 308z
−84, 807
−8, 0769 − 24, 231y
16, 154 − 32, 308z
12, 923
12, 115x + 36, 346
0
−8, 077
−12, 115x − 36, 346
0
−9, 692
0
28, 269x + 36, 346
16, 154
0
−28, 269x − 36, 346
⎨
⎩
⎫
⎬
t 1 dz dy
⎭ MP a
⎫
⎬
⎫
⎬
⎭ MP a
⎭ MP a
⎫
⎬
⎭ MP a
⎫
⎬
⎭ MP a
⎫
⎬
45, 231
8, 0769 + 24, 231y
−16, 154 + 32, 308z
⎭ kP a
⎭ MP a
⎤
⎫
⎬
dzdy MP a
⎭
⎦ MP a .
19

ˆ face normal a -x :
f 2 =
=
ˆ y=0,2 ˆ z=0,2
⎧
⎨
⎩
y=0
−3392
−420
516, 9
z=0
⎫
⎬
⎭ kP a
t 2 dz dy
ˆ face normal a +y :
f 3 =
=
ˆ x=0,2 ˆ z=0,2
⎧
⎨
⎩
x=0
516, 9
1502
0
z=0
⎫
⎬
⎭ kP a
t 3 dz dx
ˆ face normal a -y :
f 4 =
=
ˆ x=0,2 ˆ z=0,2
⎧
⎨
⎩
x=0
z=0
−323, 1
−1502
0
⎫
⎬
⎭ kP a
t 4 dz dx
ˆ face normal a +z :
f 5 =
=
ˆ x=0,2 ˆ y=0,2
⎧
⎨
⎩
x=0
y=0
−387, 7
1567
0
⎫
⎬
⎭ kP a
t 5 dy dx
ˆ face normal a +z :
f 6 =
=
ˆ x=0,2 ˆ y=0,2
⎧
⎨
⎩
x=0
646, 1
−1567
0
y=0
⎫
⎬
⎭ kP a
t 6 dy dx
Faltam ainda os momentos das forças...
4.4 Critérios de falha
Denir falha da maneira mais ampla, isto é, a incapacidade de atender aos requisitos de projeto. Falha pode ser
deslocamento/deformações elásticas excessivas (ex. equipamentos de precisão), vibração excessiva, desconforto
do usuário, deformações permanentes, quebra; mas também pode ser exatamente o contrário. Por exemplo,
parafusos "fusíveis", para-choques, molas, rebites "pop".
Desta forma, se apresentam neste capítulo critérios de ruptura e de escoamento. O engenheiro deve utilizá-los
para criar um critério de falha para casos especícos.
Apresentar rudimentos da conabilidade via interferência entre distribuições estatísticas da solicitação e
da resistência. Explicar que os coecientes de segurança são demasiadamente simplistas, mas que ainda são
utilizados e estão nas normas. Citar algumas das normas (NBR8800, ASME VIII).
20

Explicar também que na Engenharia Mecânica, normalmente a solicitação é dinâmica e leva a vibrações.
Na maioria dos componentes mecânicos, o projeto é feito para uma vida útil nita. Explicar que mais tarde
o fenômeno da fadiga será estudado para que o engenheiro consiga projetar sistemas mecânicos com vida útil
cuidadosamente selecionada para criar um mercado de reposição e obsolescência. Explicar que na aeronáutica,
a restrição de peso leva todos os projetos a terem vida útil nita, e que o trabalho de muitos engenheiros é o de
controlar a reposição de cada componente da aeronave dentro de sua vida programada.
4.4.1 Critérios de Escoamento
Os dois critérios clássicos de escoamento são apresentados:
Critério da máxima tensão cisalhante (Tresca)
(∣ ∣ ∣ )
∣∣∣ σ 1 − σ 2
∣∣∣
τ max = max
2 ∣ , σ 1 − σ 3
∣∣∣ 2 ∣ , σ 3 − σ 2
2 ∣
Critério da máxima energia (especíca) de distorção (Maxwell-von Mises-Huber-Hencky)
√
(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 2 ) 2
σ eq =
2
√
= σxx 2 + σyy 2 + σzz 2 − σ xx σ yy − σ xx σ zz − σ yy σ zz + 3 ( )
σxy 2 + σxz 2 + σyz
2
Por curiosidade, pode-se deduzir o desviador das tensões principais:
⎡
σ = ⎣ σ ⎤
1 0 0
0 σ 2 0 ⎦
0 0 σ 3
⎡
⎤
σ d = 1 2σ 1 − σ 2 − σ 3 0 0
⎣ 0 −σ 1 + 2σ 2 − σ 3 0 ⎦
3
0 0 −σ 1 − σ 2 + 2σ 3
A energia do tensor desviador é dada por:
que após alguma manipulação resulta em
U d = 1 2 σ d : C −1 : σ d
U d = 1 ((σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 1 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 2 ) 2)
6G
que é equivalente à tensão de von Mises e foi deduzido por Hencky.
4.4.2 Critérios de ruptura
Critério de Rankine (máxima tensão normal) - materiais frágeis:
max (σ 1 , σ 2 , σ 3 )
Explicar que os critérios de escoamento são utilizados como aproximação para um critério de ruptura de
materiais dúteis, mas a aproximação pode ser bastante imprecisa. A distribuição das tensões pode mudar
bastante durante o escoamento.
4.4.3 Princípio de Saint Venant
O efeito de dois carregamentos estaticamente equivalentes sobre uma estrutura é semelhante em pontos sucientemente
distantes das regiões de aplicação de cargas.
21

4.4.4 Princípio da superposição de efeitos
Em um sistema linear, o efeito da atuação simultânea de dois conjuntos de carga é equivalente à soma dos efeitos
de cada uma delas aplicadas separadamente.
Explicar que as relações deslocamentos - deformações innitesimais (cinemáticas) são lineares, as relações
deformação - tensão para a elasticidade são lineares, as relações tensão - forças de corpo e tensão - força de
superfície são lineares.
Explicar que não são lineares:
ˆ deformações nitas (Green)
ˆ relações constitutivas diferentes da elasticidade proporcional (hiperelasticidade, elasto-plasticidade, etc)
ˆ critérios de falha.
4.4.5 Energia de deformação
A energia de deformação pode ser calculada como a integral do trabalho das forças externas, que para problemas
lineares resulta em metade do trabalho nal das forças externas. Desta maneira:
¨
˚
W = t · u dS + b · u dV .
S
A integral de superfície do primeiro termo do lado direito pode ser transformada em uma integral de volume
usando o teorema da divergência:
¨
¨
t · u dS = (σn) · u dS
S
S
˚
= ((∇ · σ) · u + σ : ∇u) dV .
Substituindo no trabalho, resulta em
˚
W =
V
V
V
˚
(∇ · σ + b) dV + σ : ∇u dV ,
V
onde a primeira parte se anula pelas equações de equilíbrio. A simetria da tensão de Cauchy na segunda integral
permite substituir o gradiente dos deslocamentos pela deformação innitesimal. O trabalho então pode ser
escrito como
˚
W = σ : ε dV
V
˚
= ε : C : ε dV
V
˚
= σ : C −1 : σ dV
utilizando as relações constitutivas da elasticidade linear σ = C : ε.
A energia de deformação pode ser escrita como
U = 1 ˚
σ : ε dV = 1 ˚
ε : C : ε dV = 1 ˚
2
2
2
Deve-se ressaltar dois pontos importantes:
V
V
V
V
σ : C −1 : σ dV .
ˆ o princípio da conservação da energia mecânica não se aplica na estática, dado que o sistema é analisado
após a dissipação da energia cinética
ˆ e a energia potencial gravitacional já está incluída no trabalho das forças de corpo.
22

4.5 Problemas isostáticos
O cálculo de esforços internos em vigas faz parte do conteúdo da disciplina de estática (Mecânica Aplicada I)
que é pré-requisito desta disciplina. Parte de suas peculiaridades já foram cobertas na introdução. Em todo
caso, dois exemplos são apresentados. O primeiro (gura 5) é uma viga em balanço (cantilever).
y
01
P
01
01
01
000 11101
01
000 11101
01
000 11101
01
000 11101
000 11101
000 11101
01
X
01
01
0000000000000000
1111111111111111
01
01
L
01
01
000000000000000000000000
1111111111111111111111110
1
01
01
01
Figura 5: viga simples em balanço
Os esforços internos serão dados de acordo com a seguinte convenção: o eixo y está apontado para cima,
e em uma determinada seção transversal em uma coordenada x, consideram-se os esforços aplicados pelo lado
direito da seção, ou a reação aos esforços aplicados pelo lado esquerdo.
Neste caso, pelo lado direito temos uma força vertical negativa em y de−P e seu momento negativo em torno
de z de valor −P z (gura 6). Considerando pelo lado direito, o valor das reações de apoio são +P e momento
+P z. Considerando as reações, temos os mesmos valores que pela direita.
0
x
0.2 0.4 0.6 0.8 1
–200
–400
–600
–800
–1000
Figura 6: cortante V y e momento M z para P = 1000N e L = 1m
Como a face é normal ao sentido positivo de x, os sinais negativos signicam que o cortante está no sentido
negativo de y e que o momento está no sentido da mão esquerda. É importante enfatizar que há várias convenções
diferentes para os sinais. Por exemplo, colocando-se o eixo y para baixo, o eixo z estará entrando e os sinais se
invertem. Esta convenção foi adotada aqui porque coincide com a fórmula de Cauchy t = σn e suas resultantes
f = ˜ tdS e M = ˜ x × tdS. A maioria dos textos em Engenharia Civil adota a convenção contrária.
Um outro exemplo, desta vez tridimensional está apresentado na gura 7. Este exemplo visa apresentar a
convenção tridimensional de sinais de momentos.
Neste caso,
ˆ no segmento CD temos V z = −P, e M x = −P (c − y).
ˆ No segmento BC temos N z = −P, M x = −P c.
ˆ No segmento AB temos V z = −P, M x = −P c e M y = P (a − x).
23

000 111
000 111
A
000 111
000 111
000 111
000 111
z
x
y
C
D
P
a
c
B
b
Figura 7: tubulação em balanço
000 111
000 111
A
000 111
000 111
000 111
000 111
z
x
y
C
D
a
c
P
B
b
Figura 8: outra carga
Se alteramos a carga conforme a g. 8, os esforços internos cam:
ˆ No segmento CD V x = −P, M z = P (c − y).
ˆ No segmento BC V x = −P, M y = −P (b − z) e M z = P c
ˆ No segmento AB N x = −P, M y = −P b e M z = P c .
4.5.1 Funções de singularidade
Apresentar as funções de singularidade:
Distribuição de Heaviside (degrau unitário):
H (x − a) =
⎧
⎪⎨ 1 se x − a > 0
1
2
se x − a = 0
⎪⎩
0 se x − a < 0
com a propriedade que
ˆ ∞
f (x) H (x − a) dx =
ˆ ∞
0
a
f (x) dx .
24

mas
e
Distribuição de Dirac (impulso)
δ (x − a) = d H (x − a)
{
dx
0 se x ≠ a
=
∞ se x = a
ˆ ∞
0
ˆ ∞
0
δ (x − a) dx = 1
f (x) δ (x − a) dx = f (a) .
As seguintes regras valem para a integração sucessiva das funções de singularidade:
ˆ
δ (x − a) dx = H (x − a)
ˆ
H (x − a) dx = (x − a) H (x − a)
ˆ
(x − a) H (x − a) dx = 1 2 (x − a)2 H (x − a)
ˆ
(x − a) p 1
H (x − a) dx =
p + 1 (x − a)p+1 H (x − a)
Notação de Macaulay:
δ´ (x − a) = 〈x − a〉 −2
δ (x − a) = 〈x − a〉 −1
H (x − a) = 〈x − a〉 0
(x − a) H (x − a) = 〈x − a〉 1
1
p (x − a)p H (x − a) = 〈x − a〉 p
As funções de singularidade podem ser usadas para denir carregamentos em peças. Pode-se representar
cargas atuantes em apenas algumas regiões da peça. Por exemplo, uma força distribuída pode ser escrita como
t = H (φ) t 0
de forma que a região de atuação é apenas onde φ > 0.
Mas a maior aplicação desta formulação é no cálculo de esforços cortantes e momentos etores em barras
com cargas transversais.
Exemplo:
Seja uma viga com o carregamento
Os esforços internos podem ser calculados por
ˆ
V y = − q y dx
q y = P δ (x − a) + Mδ ′ (x − b) + q 0 (H (x − c) − H (x − d))
= −P H (x − a) + Mδ (x − b) + q 0 ((x − c) H (x − c) − (x − d) H (x − d))
25

4.6 Tração e compressão
Os alunos já tiveram cálculos de força em treliças isostáticas, de modo que podem dimensionar treliças.
Neste tópico, é importante ressaltar as limitações da teoria de barras, especialmente:
ˆ articulações nas juntas
ˆ ambagem
ˆ princípio de Saint Venant impede dimensionamentos nas juntas.
Apresentam-se as hipóteses para a teoria de barras. As hipóteses são:
1. a geometria de uma barra é denida uma seção transversal constante ao longo do comprimento. Este
comprimento tem dimensões muito superiores à seção transversal. Neste caso o comprimento está ao longo
de x.
2. as paredes laterais não tem carga.
3. uma seção transversal plana permanece plana e com a mesma normal; porém pode se deslocar ao longo de
x.
Da hipótese 2, para todas as paredes laterais
e aplicando a fórmula de Cauchy
t = 0
σn = 0 .
Da hipótese 1, as normais das paredes laterais não têm componente x:
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎨ 0 ⎬ ⎨ 0 ⎬
σ n y
⎩ ⎭ = 0
⎩ ⎭
n z 0
⎧
⎫
⎨
⎬
⎩
σ xy n y + σ xz n z
σ yy n y + σ yz n z
σ zy n y + σ zz n z
⎫
⎬
⎭ = ⎧
⎨
⎩
e também são muito próximas, de modo que a relação acima é aproximadamente válida mesmo no interior da
seção. Desta maneira, conclui-se que ⎡
σ xx 0 0
⎤
σ = ⎣ 0 0 0 ⎦ . (1)
0 0 0
A hipótese 3 leva ao seguinte corolário: que o deslocamento longitudinal depende apenas da coordenada longitudinal:
u (x). Daí: ε xx = du
dx = ε xx (x).
Juntando as equações acima com a elasticidade innitesimal isotrópica chega-se a
ε xx = σ xx
E
ε yy = −νσ xx
E
ε zz = −νσ xx
E
= −νε xx
0
0
0
= −νε xx = ε yy
de onde se conclui que a tensão varia apenas ao longo do comprimento (⇒ σ xx (x)). As equações de equilíbrio
cam
dσ xx
dx + b x = 0
b y = 0
b z = 0
26
⎭

0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
g
x
P
e as forças distribuídas na face frontal cam
⎧
⎨
⎩
Figura 9: barra pendurada
⎫t = σn
⎡
t x ⎬
t y
⎭ = ⎣
t z
σ xx 0 0
0 0 0
0 0 0
de onde se conclui que a única componente de força distribuída é t x = σ xx , e é constante. A resultante desta
força é f x = t x A e não há momentos resultantes em torno do centro da face. Conclusões semelhantes se tiram
da face posterior.
Como exemplo: uma barra pendurada sujeita ao peso próprio e uma força na ponta. A força de corpo é dada
por b x = ρg. Considerando o comprimento L, a força de superfície na face x = L é considerada uniformemente
distribuída t x = P/A. Então resolve-se as equações de equilíbrio como:
d
dx
(
E du
dx
⎤ ⎧
⎨
⎦
⎩
1
0
0
⎫
⎬
⎭
)
+ ρg = 0 em x = [0, L]
com condições de contorno t x (x = L) = P A
e u (x = 0) = 0. Para uma barra homogênea, E e ρ são constantes,
e a solução pode ser encontrada por integrações sucessivas.
E du
dx = −ρgx + C 1
u = −ρg x2
2E + C 1
E x + C 2
onde C 2 = 0 e C 1 = P A + ρgL.
Explicar que para os materiais usuais da engenharia mecânica, as barras resistem muitas vezes mais que o seu
peso próprio, e muitas vezes a força de corpo pode ser desconsiderada. Neste caso, pela equação de equilíbrio, a
tensão é constante, a deformação é constante e o deslocamento é linear.
σ xx = t x = P A
ε xx = σ xx
E
u = ε xx x + C 2
=⇒ ε xx = ∆L
L
27

p
α
θ
p0
Figura 10: Torção de eixo cilíndrico
Apresentar exemplos de cálculos de treliças e barras. Apresentar um exemplo dinâmico (vibrações livres) e
de energia de deformação. Incluir exemplos com coecientes de segurança e conabilidade.
4.7 Torção
São apresentados três teorias de torção: torção de eixos cilíndricos, torção de seção não circulares e torção de
seções fechadas de paredes nas.
Para todas elas, explicar que dicilmente a torção ocorre de forma pura. Normalmente há um acoplamento
entre exão e torção.
4.7.1 Eixos de seção circular
Hipóteses cinemáticas: uma seção circular plana permanece plana e circular. Os raios não se deformam, apenas
giram de um ângulo de torção θ.
Desta forma, um ponto identicado pelo vetor posição p 0 estará ao nal do movimento na posição p. As
componentes iniciais são:
e as nais são
p =
=
=
⎧
⎨
p 0 =
⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
x
y
z
⎫
⎬
⎭ = ⎧
⎨
⎩
R cos (α + θ (z))
R sen (α + θ (z))
z
R cosα
R senα
z
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎭
R (cosαcosθ (z) − senαsenθ (z))
R (cosαsenθ (z) + senαcosθ (z))
z
x cosθ (z) − y senθ (z)
x senθ (z) + y cosθ (z)
z
⎫
⎬
⎭
,
⎫
⎬
⎭
de onde o deslocamento vale
⎧
⎨
d =
⎩
x (cosθ (z) − 1) − y senθ (z)
x senθ (z) + y (cosθ (z) − 1)
0
⎫
⎬
⎭ .
28

Considerando que os ângulos θ (z) são muito pequenos, faz a aproximação cosθ ≈ 1 e senθ ≈ θ e o deslocamento
ca
⎧ ⎫
⎨ −y θ (z) ⎬
d = x θ (z)
⎩ ⎭ .
0
As deformações para este caso são
⎡
ε = ⎣
− 1 2 y dθ
dz
e as tensões para um material elástico isotrópico ca
Em coordenadas cilíndricas, temos:
⎡
σ = ⎣
d =
ε =
σ =
0 0 − 1 2 y dθ
dz
1
0 0
1
2 x dθ
2 x dθ
dz
dz
0
0 0 −Gy dθ
dz
0 0 Gx dθ
−Gy dθ
dz
⎧
⎨
0
θ (z)
0
dz
Gx dθ
dz
0
⎫
⎬
⎩ ⎭
⎡
1
0 0
2
⎣
r dθ
dz
0 0 0
1
2 r dθ
dz
0 0
⎡
0 0 0
⎣ 0 0 Gr dθ
dz
0 Gr dθ
dz
0
A força distribuída sobre as superfícies são as seguintes: sobre uma geratriz, cuja normal é dada por n =
{cosα, senα, 0}, a força para gerar este campo de deslocamento é nula:
⎡
0 0 −Gy dθ ⎤ ⎧ ⎫
dz ⎨ cosα ⎬
t = σn = ⎣ 0 0 Gx dθ ⎦ senα
dz
⎩ ⎭
0
−Gy dθ
dz
Gx dθ
dz
0
⎤
⎦
⎤
⎤
⎤
⎦
⎦ .
⎦ .
t z = G dθ (−y cosα + x senα)
dz
= G dθ (−R senα cosα + R cosα senα) = 0 ,
dz
(em coordenadas cilíndricas é trivial). Para a face frontal, a força distribuída é
⎡
0 0 −Gy dθ ⎤ ⎧ ⎫
dz ⎨ 0 ⎬
t = ⎣ 0 0 Gx dθ ⎦ 0
dz
−Gy dθ
dz
Gx dθ
⎩ ⎭
dz
0 1
⎧ ⎫
⎨ ⎬
= G dθ
dz
⎩
−y
x
0
⎭
ou em coordenadas cilíndricas t θ = G dθ
dz
r. Em suma, para esta hipótese sobre os deslocamentos, a carga aplicada
sobre o eixo é nula na lateral do cilindro e proporcional ao raio nas faces anterior e posterior.
29

O momento é dado por
M =
=
¨
¨ ⎧⎨
M z = G dθ
dz
M z = G dθ
dz J
r × t dS
⎫
⎬
⎭ × G dθ
dz
⎧
⎨
x
y
⎩
⎩
0
¨ (x 2 + y 2) dS
−y
x
0
⎫
⎬
⎭ dS
Para as equações de equilíbrio, uma hipótese adicional é introduzida. Considera-se que dθ
dz
forma, pode-se escrever as equações de equilíbrio como
é constante. Desta
∂σ xz
∂x
∂σ xz
∂z + b x = 0
∂σ yz
∂z + b y = 0
+ ∂σ yz
∂y + b z = 0
o que signica a ausência de forças de corpo. Reciprocamente, pode-se dizer que na ausência de forças de corpo
dθ
é constante.
dz
Signicado geométrico de dθ
dz
denir um ângulo de distorção γ = dθ
dz
4.7.2 Eixos de seção não circular
: é a taxa de variação do ângulo de torção θ ao longo do comprimento. Pode-se
r medido na geratriz para o caso constante.
Consideram-se a hipótese adicional que a seção transversal inicialmente plana empena, e este empenamento é
dado por uma função φ (x, y) e proporcional à derivada dθ
dz
. Neste caso
⎧
⎨
d =
⎩
x (cosθ (z) − 1) − y senθ (z)
x senθ (z) + y (cosθ (z) − 1)
φ (x, y) dθ
dz
⎫
⎬
⎭ ,
onde a existência de um deslocamento w não constante mostra um empenamento da seção.
Considerando dθ
dz
constante, a deformação vale
⎡
( ) ⎤
0 0 − 1 dθ
2 dz
−y + ∂φ
(
∂x
)
1 dθ
ε = ⎢ 0 0
⎣
2 dz
x + ∂φ
∂y
⎥
( ) ( )
⎦
1 dθ
2 dz
−y + ∂φ 1 dθ
∂x 2 dz
x + ∂φ
∂y
0
e as tensões
⎡
σ = G dθ ⎢
⎣
dz
0 0 −y + ∂φ
∂x
0 0 x + ∂φ
∂y
−y + ∂φ
∂x
x + ∂φ
∂y
0
Impondo que as superfícies laterais não tenham carga lateral através da fórmula de Cauchy, é feita pela
⎤
⎥
⎦ .
seguinte identidade
t z = G dθ ((
−y + ∂φ ) (
n x + x + ∂φ ) )
n y = 0 . (2)
dz ∂x
∂y
Na ausência de forças de corpo, a terceira equação de equilíbrio ca
∂σ xz
∂x
+ ∂σ yz
∂y
+ ∂σ zz
∂z = 0
30

( ) ( )
∂ 2 −y + ∂φ
∂x
∂ 2 x + ∂φ
∂y
∂x 2 +
∂y 2 = 0 . (3)
∆φ = 0 (4)
Esta equação, juntamente com as condições de contorno (eq. 2) podem ser usadas para determinar a função
empenamento φ (x, y) a menos de uma constante. Esta constante não interfere no cálculo das tensões.
Tradicionalmente, no entanto, se resolve o problema de torção de seções não circulares denindo uma nova
variável Φ (x, y) como a função de tensão de Prandtl de modo que
σ xz = − ∂Φ
∂y
σ yz = ∂Φ
∂x
que satisfaz automaticamente as equações de equilíbrio e leva as condições de contorno (eq. 2) para a forma
t z = − ∂Φ
∂y n x + ∂Φ
dx n y = 0
Considerando a denição alternativa para a normal ao longo de uma linha s ser dada por n x = dx e ds n y = dy , a ds
condição de contorno é dada por
dΦ
ds = 0 ,
isto é, Φ é constante ao longo do contorno da seção s. Normalmente se adota Φ = 0 no contorno pois não altera
os resultados de tensão. Resolve-se então a equação harmônica com condições de contorno homogêneas para
obter a distribuição de tensões na seção:
=
∂ 2 Φ
∂x 2 + ∂2 Φ
∂y 2 = −2G dθ
dz
O torque é dado pela integração das forças de superfície:
¨
M = r × tdS
¨ ⎧⎨
⎫
⎬
=
⎩
¨ ⎧⎨
⎩
x
y
0
x
y
0
⎭ × ⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭ × ⎧
⎨
⎩
σ xz
σ yz
0
− dΦ
dy
dΦ
dx
0
.
⎫
⎬
⎭ dxdy
⎫
⎬
⎭ dxdy
¨
M z = −x dΦ
dx − y dΦ
dy dxdy
¨
= −2 Φdxdy
Colocar um exemplo típico (retangular). Mostrar tabelas.
4.7.3 Aproximação para retângulos estreitos
Retângulos de parede na se estendendo ao longo de y, com largura b e altura h. Considera-se ∂2 Φ
∂y
pequeno, e daí
2
∂ 2 Φ dθ
= 2G
∂x2 dz
e
Φ = −G dθ x 2
dz 2 + C 1x + C 2 .
muito
31

Considerando Φ (x = ±b/2) = 0,
{
−G dθ b 2
dz 4 + C 1 b 2 + C 2 = 0
−G dθ
dz
b 2 4 − C 1 b 2 + C 2 = 0 ⇒ C 1 = 0, C 2 = G dθ
dz
Φ = G dθ ( ) b
2
dz 4 − x2 .
Fazendo a integral dupla de Φ temos o torque
¨
M z = −2 Φdxdy
ˆ b/2
= −2h G dθ
−b/2 dz
( b
2
= −2hG dθ
dz
( b
2
4 − x2 )
dx
4 x − x3
3
) b/2
−b/2
onde a simplicação de constância ao longo de y foi utilizada. O resultado é
M z = − b3 h
3 G dθ
dz
e pode ser usado para calcular o torque a partir do ângulo ou vice-versa. A tensão é dada por
σ yz = 6M zx
b 3 h
variando linearmente entre um sentido e outro em z e seu valor máximo é
σ yz = 3M z
b 2 h
no meio da face mais longa.
Esta aproximação serve também para pers abertos de chapa dobrada, substituindo a altura do retângulo
pelo perímetro, desde que não hajam cantos vivos. Por exemplo, um tubo circular de raio r e espessura t com
uma fenda longitudinal tem perímetro 2πr. Neste caso, a variação do ângulo de torção será
dθ
dz = M 3
z
Gb 3 h = M 3
z
G2πrt 3
e a máxima tensão é
σ yz = 3M z
2πrt 2 .
Para o tubo sem a fenda, utilizando as fórmulas deduzidas anteriormente
dθ
dz = M z
GJ = M z
G2πr 3 t
e a tensão máxima é
τ = M zr
= M zr
J 2πr 3 t = M z
2πr 2 .
t
Considerando que r ≫ t, a diferença é assustadora. Mostrar com exemplo numérico.
4.7.4 Torção de seções fechadas de parede na
Para seções fechadas de parede na de apenas um furo, pode-se considerar que a tensão cisalhante é constante ao
longo da espessura da parede. Considera-se também que a integral na espessura da tensão cisalhante (uxo de
cisalhamento) é constante ao longo da seção transversal, isto é, a tensão cisalhante é inversamente proporcional
à espessura.
32
b 2 4

y
x
u
v
4.8 Flexão
Figura 11: Hipótese de Euler-Bernoulli
O estudo da exão é feito a partir de hipóteses cinemáticas e de forças. As hipóteses cinemáticas dizem que
uma seção transversal plana permanece plana e perpendicular à linha centroidal g. 11. Isto permite escrever
os deslocamentos de toda a viga em relação ao deslocamento transversal da linha centroidal. Considerando a
linha centroidal alinhada com o eixo x, dene-se o deslocamento desta linha como v (x).
Da hipótese cinemática escreve-se que
Aproximando-se senθ z = tgθ z = θ z , podemos escrever
e
tgθ z = dv
dx
u = −y senθ z .
u = −y dv
dx
ε xx = −y d2 v
dx 2 .
Fazendo-se a mesma hipótese da ausência de cargas nas laterais que no caso de barras (eq. 1), a tensão deve ter
a forma
e consequentemente a deformação deve ser
onde
⎡
σ = ⎣
⎡
ε = ⎣
σ xx 0 0
0 0 0
0 0 0
⎤
⎦
ε xx 0 0
⎤
0 ε yy 0 ⎦
ε xx = σ xx
E
ε yy = ε zz = −νε xx .
33

Pode-se concluir que
σ xx = −Ey d2 v
dx 2 . (5)
Observem que nada pode ser denido a respeito dos deslocamentos em y e z. É comum considerá-los nulos
(seção indeformável), mas isto causaria tensões σ yy e σ zz , o que é normalmente compensado considerando
temporariamenteν = 0. O ideal seria apresentar a solução exata de Saint Venant, mas isto normalmente não é
feito na graduação.
As forças para gerar esta hipótese cinemática são nulas nas faces laterais (n = {0, 0, 1} T e n = {0, 1, 0} T ) e
na face frontal é dada por
A resultante é
t = σn
⎡
⎤ ⎧
σ xx 0 0 ⎨
= ⎣ 0 0 0 ⎦
⎩
0 0 0
⎧ ⎫
⎨ ⎬
=
=
⎩
σ xx
0
0
⎭
.
1
0
0
¨
f = t dzdy
¨
f x = −Ey d2 v
dx 2 dzdy
¨
= −E d2 v
dx 2 y dzdy
= 0
onde o resultado é explicado pelo fato do eixo x ser centroidal.
O momento resultante é dado por
¨
m = r × t dzdy
⎫
⎬
¨ ⎧⎨
⎩
0
y
z
⎭ × ⎧
⎨
⎩
¨ ⎧⎨
= −E d2 v
dx 2 ⎩
−Ey d2 v
dx 2
0
0
0
−yz
y 2
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎭ dzdy
⎫
⎬
⎭ dzdy
onde m y = 0 em virtude do eixo ser centroidal. Desta maneira, a única componente de momento restante é o
momento etor em torno de z:
d 2 v
m z = −EI zz
dx 2 ,
onde a denição do momento de inércia de área (segundo momento de área) foi utilizada, I zz = ˜ y 2 dzdy.
Pode-se ainda relacionar a tensão eq.(5) com o momento etor
σ xx = −y m z
I zz
.
As conclusões que se tiram desta dedução: a teoria de Euler-Bernoulli é feita para barras exionadas por
momentos nos extremos puros nos extremos e nenhuma força resultante está presente.
4.8.1 Cálculo de momentos de Inércia (revisão)
Revisar momentos de inércia, produto de inércia, eixos principais de inércia, teorema dos eixos paralelos (Steiner).
Momentos de inércia equivalentes de vigas compostas.
34

4.8.2 Energia de deformação
A energia de deformação de vigas é calculada por
˚
U = σ : εdV
4.8.3 Vigas com forças transversais
=
=
=
V
ˆ L
x=0
ˆ L
x=0
ˆ L
x=0
¨
σ xx ε xx dy dz dx
A
¨ ( ( d
Ey 2 2 ) 2
)
v
A dx 2 dy dz dx
( d 2 ) 2
v
E
dx 2 I zz dx
A denição das cargas na teoria de Euler-Bernoulli indica que esta teoria foi desenvolvida apenas para vigas com
momentos puros aplicados nas extremidades, de modo que o momento etor seja constante. No entanto, pode-se
aplicá-la a outras situações se adicionarmos a hipótese que o efeito do momento etor é muito mais signicativo
que o de qualquer outro esforço. Isto é particularmente válido para vigas longas, dado que os braços de alavanca
tornam os momentos mais signicativos que os efeitos das forças em si. Com esta ressalva, esta teoria é uma
boa aproximação para momentos variáveis (M z (x)), como no caso de vigas com forças transversais.
A denição de viga longa é normalmente adotada quando o comprimento é ao menos vinte vezes a altura da
viga. Mas em engenharia se utiliza até 10 vezes, compensando no coeciente de segurança.
O procedimento de cálculo de uma viga (isostática) se baseia em encontrar o momento etor através dos
métodos das seções ou por dupla integração da carga. Da Estática, sabe-se que
logo
q y = d2 M z
dx 2
V y = − dM z
dx
q y = −dV y
dx
(
= d2 d 2 )
v
dx 2 EI zz
dx 2
4.8.4 Dimensionamento de vigas isostáticas
Pode-se denir muitas maneiras diferentes de se denir as dimensões da seção transversal de uma viga:
ˆ Seleção de uma seção transversal para a viga toda de uma lista
ˆ Determinação de alguma dimensão livre de uma dada seção transversal para a viga toda
ˆ Seleção de várias seções transversais para várias partes da viga
ˆ Determinação de uma variação contínua da seção transversal
ˆ Seleção de material para a viga
ˆ Seleção de um material de uma viga composta
Escolher exemplos e explicá-los.
35

00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
B
C
h/2
A
y*
tB
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
tC
tA
x
x+ ∆ x
4.9 Cisalhamento em Vigas
Figura 12: Cisalhamento em vigas
Teoria simplicada de Jourawski, para vigas com paredes retas. Serve apenas para seções retangulares, ou nos
trechos retangulares de seções quaisquer.
Na face x + ∆x da área hachurada a força distribuída é dada por
e a força resultante por
onde a integral
⎡
t = σ ⎣
=
f =
f x =
=
⎡
1
0
0
⎣ σ xx
0
0
¨
¨
¨
⎤
⎦
⎤ ⎡
⎦ = ⎣ −Ey ⎤
d2 v
dx 2
0 ⎦
0
t dy dz
t x dydz
−Ey d2 v
dx 2 dydz
= −E d2 v
dx 2 ˆ b/2
Q (y ∗ ) =
−b/2
ˆ b/2 ˆ h/2
−b/2
y ∗
ˆ h/2
y ∗
y dy dz
é o momento estático de área. Substituindo M z (x + ∆x) = EI zz
d²v
dx 2
y dy dz
ca
f Ax = M z (x + ∆x) Q (y ∗ )
I zz
.
36

Repetindo a operação para o face em x, temos que a força será dada por
f Bx = − M z (x) Q (y ∗ )
I zz
.
A diferença é compensada por uma força na face inferior
f Ax + f Bx + f Cx = 0
dividindo por b∆x e tomando o limite ∆x → 0
f Cx = − Q (y∗ )
I zz
t Cx = − Q (y∗ ) dM
b I zz dx
que considerando que a normal é negativa em y resulta em
σ xy = V Q (y∗ )
b I zz
.
(M (x + ∆x) − M (x))
Esta teoria de cisalhamento é adequada para retângulos, incluindo a alma de vigas I ou C.
Explicar o cálculo do momento estático. Ainda não viram; verão apenas em Mecânica dos Fluidos.
Para exemplicar, seja uma viga retangular de seção b × h. O momento estático é dado por
e o momento de inércia por
Q =
de modo que a tensão cisalhante é dada por
=
= b
ˆ b/2 ˆ h/2
−b/2
ˆ b/2
−b/2
6V
σ xy =
O maior valor de cisalhamento ocorre em y ∗ = 0 e vale
y ∗
y dy dz
(
h 2
8 − (y∗ ) 2
2
)
(
h 2
8 − (y∗ ) 2
2
I zz = bh3
12
(
h 2
4 − (y∗ ) 2)
b h 3 .
σ xy (y ∗ = 0) = 3V
2A
o que é 50% maior que a tensão cisalhante média V/A.
Cisalhamento vertical em vigas I
As seções com abas superiores e inferiores apresentam a maior parte da resistência em sua alma (ou elemento
vertical). É possível então considerar apenas esta parte no cálculo do cisalhamento, e considerar a tensão
cisalhante constante. Apresentar exemplo.
Cisalhamento em abas
4.10 Deslocamentos em vigas
Cálculo da linha elástica em vigas de Euler-Bernoulli através da dupla integração do momento.
)
dz
37

4.10.1 Teoria de vigas de Timoshenko
O efeito do esforço cortante em uma viga pode ser considerado de forma simplicada.
distorção pura, d c = { 0 v c (x) 0 }T , de tal maneira que a deformação seja dada por
⎡
ε c = ⎣
0
β(x)
β(x)
2
0
2
0 0
0 0 0
⎤
⎦ ,
Considerando uma
onde β (x) = dvc
dx
é um ângulo de distorção. A tensão associada é
σ c =
⎡
⎣ Gβ 0 0
0 Gβ 0
0 0 0
que é constante na seção. As forças de superfície são dadas por
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧
⎨ Gβ ⎬ ⎨ 0 ⎬ ⎨
t 1 c = 0
⎩ ⎭ , t2 c = Gβ
⎩ ⎭ , t3 c =
⎩
0
0
respectivamente nas faces superior, frontal e inferior. Por causa da existência da força tangencial nas faces
inferior e superior, a distorção pura não é uma hipótese perfeita para o cisalhamento em vigas. O ideal seria
uma distorção variável ao longo de y com valor nulo nas faces superior e inferior, o que implicaria em seções
transversais tornando-se curvas. Reparem que a força distribuída na face frontal é uniforme. A força resultante
na face frontal é f y = GAβ, onde A é a área da seção transversal.
A teoria de Timoshenko utiliza uma distorção constante em y, sendo desta maneira inconsistente com o
carregamento, mas mantendo as seções transversais planas. Deve-se considerar o ângulo β (x) apenas como uma
rotação média da seção. O movimento é composto de uma exão adicionada da distorção:
d = d f + d c
⎧ ⎫ ⎧
⎨ u f ⎬ ⎨
= v f
⎩ ⎭ + ⎩
w f
A rotação total da seção inclui a exão e a distorção; desta maneira, deve-se retirar a distorção do deslocamento
longitudinal:
( )
dv (x)
u = −y
dx − β (x)
As deformações valem
e as tensões
ε xx = −y d2 v f
dx 2
ε xy = β 2
σ xx = −Ey d2 v f
dx 2
σ xy = Gβ
⎤
⎦
0
v c
0
⎫
⎬
⎭
−Gβ
0
0
⎫
⎬
⎭ ,
e as forças na face frontal valem
⎧
⎨
t =
⎩
−Ey d2 v f
dx 2
Gβ
0
⎫
⎬
⎭
38

cuja resultante é
e o momento resultante é
⎧
⎨
f =
⎩
⎧
⎨
M =
⎩
0
GAβ
0
0
0
⎫
⎬
⎭
EI zz
d 2 v f
dx 2 ⎫
⎬
⎭ .
Para levar em conta que a distribuição de força cisalhante e ângulo de distorção não é uniforme, introduz-se um
fator de correção sobre a relação entre a força resultante vinda da hipótese cinemática e o esforço cortante.
V = κGAβ
onde a correção κ é dada em tabelas. Por exemplo, para seções circulares é dada por κ = 6(1+ν)
7+6ν
, para seções
retangulares κ = 10(1+ν) . 12+11ν
A solução pode ser feita por simples superposição, já que o efeito do momento e da força cortante estão
separados.
Há aqui uma inconsistência do programa da disciplina, já que a diferença entre as teorias está no deslocamento;
desta forma, deve ser dada após as deexões da teoria de Euler-Bernoulli.
Exemplo: seja uma viga de seção retangular com dimensões 30×40mm (base×altura), comprimento de meio
metro, feita em aço 1020 com E = 210GP a e ν = 0, 3, engastada em um lado e com carga vertical para cima de
10000N. Calcule deslocamentos transversais.
A = b h = 120mm 2 = 1, 2 × 10 −4 m 2
I zz = b h3
12 = 160000mm4 = 1, 6 × 10 −7 m 4
10 (1 + 0, 3)
κ = = 0, 8497
12 + 11 × 0, 3
39