8. Noç˜oes básicas sobre cardinalidade de conjuntos

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8. Noções básicas sobre cardinalidade de conjuntos
A utilização da noção de aplicação bijectiva entre conjuntos é a abordagem apropriada
para comparar o “tamanho” de dois conjuntos. Esta abordagem foi introduzida por
Cantor e, surpreendentemente, conduz à existência de diferentes tamanhos infinitos.
Definição 8.1 Sejam A e B dois conjuntos. Diz-se que:
(i) A e B têm o mesmo cardinal se existe uma aplicação bijectiva de A para B
(ou, equivalentemente, de B para A); diz-se também, neste caso, que A e B são
equipotentes e escreve-se A ∼ B.
(ii) A tem cardinal menor ou igual que B se existe uma aplicação injectiva de A
para B (o que equivale a dizer que existe uma aplicação bijectiva de A para um
subconjunto de B) e escreve-se A < ∼ B.
O cardinal de um conjunto A é representado por #(A).
As relações enunciadas em (i) e (ii), na Definição 8.1, denotam-se respectivamente
por #(A) = #(B) e #(A) ≤ #(B).
Diz-se ainda que o cardinal de A é (estritamente) menor que o cardinal de B, e
escreve-se #(A) < #(B), se #(A) ≤ #(B) e #(A) ≠ #(B).
O seguinte importante teorema extende a cardinais quaisquer, uma conhecida propriedade
dos cardinais finitos.
Teorema 8.2 (Schröder-Bernstein) Sejam A e B dois conjuntos.
Se #(A) ≤ #(B) e #(B) ≤ #(A), então #(A) = #(B).
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Um conjunto diz-se infinito se tem o mesmo cardinal que um seu subconjunto
próprio, e diz-se finito caso contrário.
Por exemplo, N é infinito pois tem o mesmo cardinal que o subconjunto 2N dos
seus números pares. De facto, a aplicação f : N → 2N definida, para cada n ∈ N, por
f(n) = 2n é claramente uma aplicação bijectiva.
O cardinal de um conjunto finito A é identificado com o número de elementos de A.
Assim, #(∅) = 0 e #({1, 2, {3, 4}}) = 3. O cardinal de N é representado por ℵ 0 .
Definição 8.3 Um conjunto A diz-se numerável se tem o mesmo cardinal que N, e
diz-se enumerável se é finito ou numerável.
É claro que N é um conjunto numerável e, como vimos acima, o conjunto dos naturais
pares também é numerável. Note-se que um conjunto A é numerável se existe uma
bijecção f de N para A, o que significa que os elementos de A podem ser “listados”
como
f(1), f(2), f(3), . . .
de tal forma que cada elemento de A aparece exactamente uma vez na lista. Por exemplo,
o conjunto Z dos números inteiros pode ser listado desta forma. Portanto Z é um
conjunto numerável.

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Exemplo 8.4 Um outro exemplo, menos imediato, de conjunto numerável é N × N, o
conjunto dos pares ordenados de números naturais. Para mostrar a veracidade desta
afirmação comecemos por representar os elementos deste conjunto na forma de tabela,
conforme sugerido na seguinte figura.
(1, 1) (1, 2) ✲(1, 3) (1, 4) ✲(1, 5) · · ·
❄ ✒
✠ ✒
✠
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) · · ·
✠ ✒
✠
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) · · ·
❄ ✒
✠
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) · · ·
✠
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) · · ·
.
.
.
.
.
As setas representadas na figura sugerem uma maneira de escrever N × N na forma
de lista:
(1, 1), (2, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), (1, 5), . . . .
Portanto N × N é um conjunto numerável.
Seja Q o conjunto dos números racionais e sejam Q + e Q − os conjuntos dos racionais
positivos e negativos, respectivamente. Dado que cada número racional positivo se
pode escrever como uma fracção de dois naturais, um procedimento análogo ao do
exemplo anterior mostra que Q + é numerável (naturalmente, deve-se ter em conta que na
construção da lista não se pode incluir duas fracções que representam o mesmo número).
Simétricamente, Q − é numerável e, daí, é imediato concluir que Q é numerável.
Facto 8.5 O cardinal ℵ 0 dos conjuntos numeráveis é o menor cardinal infinito, pois
cada conjunto infinito A tem uma parte numerável.
Demonstração. Para provar esta afirmação, basta começar por escolher um elemento
a 1 de A. Depois, assumindo que para cada n ∈ N já foram escolhidos elementos
a 1 , a 2 , . . . , a n de A, escolhe-se um elemento a n+1 do conjunto A \ {a 1 , a 2 , . . . , a n }, que
é não vazio pois A é infinito. O subconjunto B = {a i | i ∈ N} de A é claramente
numerável e, portanto, ℵ 0 ≤ #(A). É assim correcto pensar em cada conjunto infinito
não numerável como sendo “maior” do que qualquer conjunto numerável. Uma outra

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propriedade útil dos conjuntos numeráveis, e que é uma consequência imediata do exposto
acima e do Teorema de Schröder-Bernstein, é que toda a parte de um conjunto
numerável é finita ou é numerável (ou seja, é enumerável).
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Eis algumas propriedades dos conjuntos enumeráveis, cuja demonstração é deixada
como exercício.
Teorema 8.6 Sejam A, B, A 1 , A 2 , . . . conjuntos.
(i) Se A e B são enumeráveis, então A × B é enumerável.
(ii) Se A e B são enumeráveis, então A ∪ B é enumerável.
(iii) Se A 1 , A 2 , . . . são numeráveis, então ∪ ∞ i=1A i é numerável.
(iv) Se A é numerável, então P fin (A) = {X ⊆ A | X é finito} é numerável.
(v) Se A não é enumerável e B ⊆ A é enumerável, então A \ B não é enumerável.✷
Temos vindo a falar de conjuntos infinitos não numeráveis mas ainda não provamos a
sua existência. Mostraremos no próximo teorema que, de facto, tais conjuntos existem.
Compare este resultado com a alínea (iv) do teorema anterior.
Teorema 8.7 Se A é um conjunto numerável, então o conjunto P(A) das partes de A
não é enumerável.
Demonstração: Basta provar que P(N) não é enumerável, pois se existe uma bijecção
de N para A, também existe uma bijecção de P(N) para P(A). A prova faz-se por
redução ao absurdo. Suponhamos que P(N) é enumerável. Então P(N) é numerável,
pois é infinito, e os seus elementos podem ser escritos numa lista N 1 , N 2 , N 3 , . . .. Seja B
o seguinte subconjunto de N
B = {i ∈ N | i ∉ N i }.
Dado que B ∈ P(N), B = N i para algum i ∈ N. Será que o número i pertence a N i
Como N i = B, tem-se por definição de B, i ∈ N i se e só se i ∉ N i . Isto é um absurdo e,
portanto, a suposição de que P(N) é enumerável é falsa. Logo P(N) não é enumerável.✷
A demonstração deste último resultado deve-se a Cantor e utiliza um argumento
de “diagonalização” na definição do conjunto B. Para obter mais pormenores sobre
esta técnica de diagonalização recomenda-se a consulta de qualquer livro de teoria de
conjuntos. Este tipo de demonstração foi também usado por Cantor para provar que o
conjunto R dos números reais não é enumerável. O cardinal de R é representado por c
e é chamado o cardinal do contínuo. Como se pode mostrar, o conjunto P(N) tem
o cardinal do contínuo. Logo, o Teorema 8.7 pode ser reescrito com mais precisão da
seguinte forma.
Teorema 8.8 Se A é um conjunto numerável, então o conjunto P(A) tem o cardinal
do contínuo.
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