Transformada Z
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<strong>Transformada</strong> Z<br />
Luís Caldas de Oliveira<br />
Introdução<br />
A transformada de Fourier não converge para todas as sequências.<br />
A transformada Z abrange uma maior classe de sinais.<br />
Resumo<br />
1. Definição<br />
2. Região de Convergência<br />
3. <strong>Transformada</strong> Inversa<br />
4. Propriedades da <strong>Transformada</strong> Z<br />
A transformada Z desempenha o mesmo papel para os sinais discretos o<br />
mesmo papel que a transformada de Laplace para os contínuos.<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 1<br />
<strong>Transformada</strong> Z Bilateral<br />
<strong>Transformada</strong> de Fourier e <strong>Transformada</strong> Z<br />
A transformada de Fourier é a transformada Z calculada sobre o círculo<br />
unitário ( ):<br />
Plano z<br />
Im<br />
z=e jω<br />
ω<br />
1<br />
Re<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 2<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 3
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Convergência da <strong>Transformada</strong> Z<br />
Aplicando a condição da sequência ser absolutamente somável, usada para<br />
a transformada de Fourier:<br />
Quando a <strong>Transformada</strong> Z é uma Função Racional<br />
Uma importante classe de transformadas são aquelas em que a transformada<br />
Z é uma função racional no interior da região de convergência:<br />
A convergência da transformada depende<br />
apenas de e por isso a região<br />
de convergência terá a forma de um<br />
anel.<br />
Em certos casos o limite interno do anel<br />
poderá ser a origem e o limite externo<br />
poderá ser infinito.<br />
Plano z<br />
Im<br />
Re<br />
Em que<br />
zeros de<br />
pólos de<br />
e<br />
são polinómios em<br />
: nome dado às raízes do numerador (<br />
: nome dado às raízes do denominador (<br />
.<br />
).<br />
).<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 4<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 5<br />
Sequências Laterais<br />
Plano z<br />
Im<br />
<strong>Transformada</strong>s Z Comuns<br />
Exemplo de sequência lateral<br />
direita:<br />
a<br />
1<br />
Re<br />
<br />
Plano z<br />
Im<br />
a 1<br />
Re<br />
Exemplo de sequência lateral<br />
esquerda:<br />
<br />
¨excepto<br />
(<br />
) ou<br />
(<br />
)<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 6<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 7
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<strong>Transformada</strong>s Z Comuns<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 8<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 9<br />
¨<br />
caso contrário<br />
Propriedades da Região de Convergência<br />
Se a transformada Z for uma função racional e<br />
excepto possivelmente em ou :<br />
tiver amplitude finita<br />
Propriedade 1: A região de convergência é um anel centrado na origem.<br />
Propriedade 2: A transformada de Fourier de converge absolutamente<br />
sse a região de convergência da transformada Z incluir o círculo unitário.<br />
Propriedade 3: A região de convergência não pode incluir nenhum pólo.<br />
Propriedade 4: Se for um sequência de duração finita então a região<br />
de convergência é todo o plano z excepto possivelmente ou .<br />
Propriedades da Região de Convergência (cont.)<br />
Propriedade 5: Se for um sequência lateral direita a região de convergência<br />
estende-se para fora do pólo mais afastado da origem (incluindo<br />
possivelmente ).<br />
Propriedade 6: Se for um sequência lateral esquerda a região de convergência<br />
estende-se para o interior do pólo mais próximo da origem (incluindo<br />
possivelmente ).<br />
Propriedade 7: Se for um sequência bilateral a região de convergência<br />
será um anel no plano Z, limitado no interior e exterior por um pólo e não<br />
contendo pólos no seu interior.<br />
Propriedade 8: A região de convergência tem de ser uma região ligada.<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 10<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 11
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<strong>Transformada</strong> Z Inversa – Expansão em Fracções Simples<br />
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e se os pólos forem todos de primeira ordem:<br />
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em que:<br />
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Lu´ıs Caldas de Oliveira 13<br />
<strong>Transformada</strong> Z Inversa – Expansão em Série de Potências<br />
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.<br />
Os valores da sequência são os coeficientes das potências de<br />
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Lu´ıs Caldas de Oliveira 15<br />
<strong>Transformada</strong> Z Inversa – Método de Inspecção<br />
Reconhecer por inspecção certos pares de transformadas.<br />
Exemplo:<br />
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Usa-se o par de transformadas:<br />
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Lu´ıs Caldas de Oliveira 12<br />
<strong>Transformada</strong> Z Inversa – Expansão em Fracções Simples<br />
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em<br />
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e existir um pólo de ordem<br />
No caso<br />
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terminando-o quando o grau do resto for menor que o do denominador,<br />
pode ser obtido por divisão longa do numerador pelo denominador<br />
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Lu´ıs Caldas de Oliveira 14
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Linearidade<br />
Deslocamento Temporal<br />
Com a região de convergência:<br />
Com a região de convergência:<br />
excepto a possível adição ou remoção de<br />
ou<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 16<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 17<br />
Multiplicação por uma Sequência Exponencial<br />
Diferenciação<br />
Com a região de convergência:<br />
Com a região de convergência:<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 18<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 19
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Conjugado de uma Sequência Complexa<br />
Inversão Temporal<br />
Com a região de convergência:<br />
Com a região de convergência:<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 20<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 21<br />
Convolução de Sequências<br />
Teorema do Valor Inicial<br />
Se<br />
for uma sequência causal:<br />
Com a região de convergência:<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 22<br />
Lu´ıs Caldas de Oliveira 23
Change language