My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

15 DIMENSIONS, FRACTALS AND ENTROPY 99
von Koch snowflake.
The snowflake may be defined as the invariant set K ⊂ C for the IFS
z ↦→ az
z ↦→ a + (1 − a)z
with a = 1 2 + i 1 √
12
.
De Rham’s curves.
33
Paul Lévy’s dragon curve.
The Lévy’s dragon, or Lévy C curve, is a curve with non-empty
interiror 34 z ↦→ az z ↦→ a + az
with a = 1 2 + i 1 2 .
Leaves. Using affine contractions of the plane R 2 ,
f k : x ↦→ A k x + α k
with A k ∈ M 2×2 (R) and α k ∈ R 2 , playing with their parameters, Michael Barnsley was able to
reproduce patterns similar to the one observed in ferns.
Below are different kinds of Barnsley fern.
Pictures taken from http://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley’s_fern
15.4 Kleinian groups
[MSW02] . . .
to be done
15.5 Entropia topológica
O fenómeno da dependência sensível das condições iniciais por ser “quantificado”, e isto produz
um importante invariante topológico chamado “entropia topoloógica”.
Entropia topológica. Seja f : X → X uma transformação contínua do espaço topológico
compacto X. Se d é uma métrica que induz a topologia de X, podemos definir uma família de
métricas d n , dependentes do tempo n ≥ 0, por meio de
d n (x, y) = max d ( f k (x) , f k (y) )
0≤k≤n
Ou seja, d n (x, y) é “a distância máxima distância entre as n-trajetórias de x e y”.
Se pensamos em ε > 0 como a precisão dos nossos instrumentos, N ε (X, d n ) representa “o
número mínimo de n-órbitas necessárias para descrever as órbitas de todos os pontos de X com
erro ≤ ε”, e S ε (X, d n ) representa “o número máximo de n-órbitas que os nossos instrumentos
com sensibilidade ε conseguem distinguir”. Se X é compacto, estes números são finitos, e crescem
quando n cresce e quando ε decresce.
33 G. de Rham, Sur quelques courbes définies par des équations fonctionnelles, Rend. Sem. Mat. Torino 16
(1957), 101-113.
34 P. Lévy, Les courbes planes ou gauches et les surfaces composées de parties semblables au tout, J. Ecole
Polytechn. (1938), 227-247, 249-291.