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14 PERDA DE MEMÓRIA E INDEPENDÊNCIA ASSIMPTÓTICA 94 dem. Por simplicidade, assumimos que λ seja um inteiro > 1. A ideia é construir uma conjugação entre os conjuntos das pré-imagens de um ponto fixo pelas iteradas de f e ×λ, e aproveitar do fato deles ser densos para extender a conjugação em todo o círculo. Sejam x i k = i/λk com i = 0, 1, ..., λ k − 1. Então ×λ(x i k ) = xi′ k−1 , onde i′ é o único inteiro entre 0 e λ k−1 − 1 tal que i = i ′ mod λ k−1 . Sejam F um levantamento de f, e p o ponto fixo de F . Como F é estrictamente crescente e F (p + 1) = p + λ, existem p = y1 0 < y1 1 < ... < y1 λ−1 definimos os pontos yk i com i = 0, 1, ..., λk − 1 tais que y i k−1 = y λi k < y λi+1 k < ...y λi+λ−1 k < y λi+λ k = y i+1 k−1 e F (yk i ) = yi′ k−1 , onde i′ é o único inteiro entre 0 e λ k−1 − 1 tal que i = i ′ mod λ k−1 . Para cada intervalo Ik i = π ([ yk i , ]) yi+1 k temos que f k (Ik i ) = R/Z. Como f é expansora, i.e. existe µ > 1 tal que |F ′ (x)| > µ em todo ponto x, cada um desses intervalos tem comprimento ∣ ∣ I i k < µ −k , e portanto a família de pontos { } yk i é densa em [p, p + 1]. A função k∈N, i=0,1,...,m k −1 H : { yk i } k∈N, i=0,1,...,λ k −1 → { x i } k k∈N, i=0,1,...,λ k −1 definida por H(y i k ) = xi k é estritamente monótona. A densidade dos pontos { y i k} e { x i k } permite extender H como um homeomorfismo H : [p, p + 1] → [0, 1], logo como um homeomorfismo h : R/Z → R/Z. Vê-se facilmente que ×λ ◦ h = h ◦ f. Em particular, dada uma transformação expansora do círculo f : R/Z → R/Z de classe C 1 , toda transformação g suficientemente próxima de f na topologia C 1 é topologicamente conjugada a f, porque a expansividade é uma condição aberta, e o grau é localmente constante (pois é uma função contínua com valores inteiros). Acabamos de provar o seguinte Teorema. As transformações expansoras do círculo de classe C 1 são C 1 -estruturalmente estáveis. 14.6 Automorfismos hiperbólicos do toro A expansividade não é necessária para induzir o mixing topológico. Foi o Dmitri Victorovich Anosov que, a partir dos exemplos geométricos dos fluxos geodésicos em superficies de curvatura negativa estudados por Hadamard, Hopf, ..., descobriu nos anos sessenta uma classe muito grande de transformações ”desordenadas” e estruturalmente estáveis. O protótipo é a familia dos automorfismos hiperbólicos do toro. O toro de dimensão dois é o espaço quociente R 2 /Z 2 . Uma aplicação linear A : R 2 → R 2 , definida por uma matriz 2×2 com coeficientes inteiros, induz uma aplicação contínua f : R 2 /Z 2 → R 2 /Z 2 , definida por f ( x + Z 2) = A (x) + Z 2 Se a matriz A tem determinante ±1, então também a sua inversa tem coeficientes inteiros, logo respeita o retículo Z 2 , e portanto f é invertível, é um ”automorfismo” do toro. A existência de tais homeomorfismos é devida a razões aritméticas: as linhas e as colunas destas matrizes são pares de intéiros relativamente primos. Os automorfismos do toro que preservam a orientação, i.e. induzidos por matrizes com determinante +1, formam o grupo SL(2, Z). Um exemplo é o automorfismo f induzido pela matriz ( ) 2 1 A = 1 1 É imediato verificar que, se x ∈ R 2 /Z 2 é um ponto periódico, então as suas coordenadas são racionais. Por outro lado, o conjunto dos pontos do toro cujas coordenadas são múltiplos inteiros de 1/n é um conjunto finito e +invariante. Isto implica que todos os pontos com coordenadas racionais são periódicos, e portanto que os pontos periódicos são densos. Também, é possível mostrar que |Per n (f)| = |det (A n − id)|. Os autovalores de A são λ + = 3 + √ 5 2 e λ − = 3 − √ 5 2
14 PERDA DE MEMÓRIA E INDEPENDÊNCIA ASSIMPTÓTICA 95 Como A é simétrica, os vetores próprios são ortogonais. Resulta que R 2 é a soma direta E + ⊕ E − dos espaços próprios de A. A transformação A estica os vetores de E + pelo fator λ + e contrai os vetores de E − pelo fator λ − . Observe que f preserva a área, pois λ + · λ − = 1, mas não preserva as ”formas”. As projeções da linhas x + E ± ⊂ R 2 em R 2 /Z 2 contêm as órbitas de uma translação minimal do toro (porque λ ± são irracionais) e portanto são densas. Seja R um pequeno quadrado com lados de comprimento ε paralelos às linhas E ± . A imagem f n (R) é um ”retângulo” com lados ε · λ n + e ε · λ n −, paralelos às linhas E ± , respetivamente. Quando n cresce, o complementar ( R 2 /Z 2) \f n (R) não contém bolas de raio maior de ε, onde ε → 0 quando n → ∞, logo f n (R) interseta estavelmente cada aberto não vazio do toro. Isto mostra que f é topologicamente mixing. O resultado realmente interessante é o teorema de Anosov, que diz que f é C 1 -estruturalmente estável.
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