My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

14 PERDA DE MEMÓRIA E INDEPENDÊNCIA ASSIMPTÓTICA 94
dem. Por simplicidade, assumimos que λ seja um inteiro > 1. A ideia é construir uma conjugação
entre os conjuntos das pré-imagens de um ponto fixo pelas iteradas de f e ×λ, e aproveitar
do fato deles ser densos para extender a conjugação em todo o círculo. Sejam x i k = i/λk com
i = 0, 1, ..., λ k − 1. Então ×λ(x i k ) = xi′ k−1 , onde i′ é o único inteiro entre 0 e λ k−1 − 1 tal que
i = i ′ mod λ k−1 . Sejam F um levantamento de f, e p o ponto fixo de F . Como F é estrictamente
crescente e F (p + 1) = p + λ, existem p = y1 0 < y1 1 < ... < y1 λ−1 < p + 1 tais que F (y1) i = p + i.
Indutivamente (em k) definimos os pontos yk i com i = 0, 1, ..., λk − 1 tais que
y i k−1 = y λi
k
< y λi+1
k
< ...y λi+λ−1
k
< y λi+λ
k
= y i+1
k−1
e F (yk i ) = yi′ k−1 , onde i′ é o único inteiro entre 0 e λ k−1 − 1 tal que i = i ′ mod λ k−1 . Para cada
intervalo Ik i = π ([ yk i , ]) yi+1 k temos que f k (Ik i ) = R/Z. Como f é expansora, i.e. existe µ > 1
tal que |F ′ (x)| > µ em todo ponto x, cada um desses intervalos tem comprimento ∣ ∣ I
i k < µ −k , e
portanto a família de pontos { }
yk
i é densa em [p, p + 1]. A função
k∈N, i=0,1,...,m k −1
H : { yk
i }
k∈N, i=0,1,...,λ k −1 → { x i }
k
k∈N, i=0,1,...,λ k −1
definida por H(y i k ) = xi k é estritamente monótona. A densidade dos pontos { y i k}
e
{
x
i
k
}
permite
extender H como um homeomorfismo H : [p, p + 1] → [0, 1], logo como um homeomorfismo h :
R/Z → R/Z. Vê-se facilmente que ×λ ◦ h = h ◦ f.
Em particular, dada uma transformação expansora do círculo f : R/Z → R/Z de classe C 1 ,
toda transformação g suficientemente próxima de f na topologia C 1 é topologicamente conjugada
a f, porque a expansividade é uma condição aberta, e o grau é localmente constante (pois é uma
função contínua com valores inteiros). Acabamos de provar o seguinte
Teorema.
As transformações expansoras do círculo de classe C 1 são C 1 -estruturalmente estáveis.
14.6 Automorfismos hiperbólicos do toro
A expansividade não é necessária para induzir o mixing topológico. Foi o Dmitri Victorovich
Anosov que, a partir dos exemplos geométricos dos fluxos geodésicos em superficies de curvatura
negativa estudados por Hadamard, Hopf, ..., descobriu nos anos sessenta uma classe muito
grande de transformações ”desordenadas” e estruturalmente estáveis. O protótipo é a familia dos
automorfismos hiperbólicos do toro.
O toro de dimensão dois é o espaço quociente R 2 /Z 2 . Uma aplicação linear A : R 2 → R 2 ,
definida por uma matriz 2×2 com coeficientes inteiros, induz uma aplicação contínua f : R 2 /Z 2 →
R 2 /Z 2 , definida por
f ( x + Z 2) = A (x) + Z 2
Se a matriz A tem determinante ±1, então também a sua inversa tem coeficientes inteiros, logo
respeita o retículo Z 2 , e portanto f é invertível, é um ”automorfismo” do toro. A existência de tais
homeomorfismos é devida a razões aritméticas: as linhas e as colunas destas matrizes são pares de
intéiros relativamente primos. Os automorfismos do toro que preservam a orientação, i.e. induzidos
por matrizes com determinante +1, formam o grupo SL(2, Z). Um exemplo é o automorfismo f
induzido pela matriz
( ) 2 1
A =
1 1
É imediato verificar que, se x ∈ R 2 /Z 2 é um ponto periódico, então as suas coordenadas são
racionais. Por outro lado, o conjunto dos pontos do toro cujas coordenadas são múltiplos inteiros
de 1/n é um conjunto finito e +invariante. Isto implica que todos os pontos com coordenadas
racionais são periódicos, e portanto que os pontos periódicos são densos. Também, é possível
mostrar que |Per n (f)| = |det (A n − id)|. Os autovalores de A são
λ + = 3 + √ 5
2
e λ − = 3 − √ 5
2