My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

14 PERDA DE MEMÓRIA E INDEPENDÊNCIA ASSIMPTÓTICA 93
Seja x = 0, x 1 x 2 x 3 ..., com x n ∈ {0, 1, 2, ..., 9}, uma representação decimal de x ∈ [0, 1[, pensado
como um ponto de R/Z. Mostre que f(0, x 1 x 2 x 3 ... + Z) = 0, x 2 x 3 x 4 ... + Z.
Procure os pontos fixos, periódicos, e pré-periódicos de f.
Calcule a cardinalidade de Fix(f n ). Mostre que os pontos periódicos de f são densos no círculo.
Um número x é dito ”periódico” se a sua representação decimal é da forma
x = b n b n−1 ...b 0 .x 1 x 2 ...x n (a 1 a 2 ...a k )
Existem número não periódicos Quantos Sabe fazer exemplos
Mostre que, para todo ε > 0 e todo x ∈ R/Z, existem x ′ ∈ R/Z e um tempo n ≥ 0 tais que
d(x, x ′ ) < ε e d(f n (x), f n (x ′ )) > 1/4
ou seja, que a transformação f tem a propriedade de dependência sensível das condições iniciais.
(Observe que, se d(x, x ′ ) < 1/2 · 10 −n , então d(f n (x), f n (x ′ )) = 10 n · d(x, x ′ ) ...)
Mostre que, para todo intervalo não vazio I ⊂ R/Z, existe um tempo n ≥ 0 tal que f k (I) = R/Z
para todo tempo k ≥ n. Deduza que f é topologicamente mixing.
Seja b = (b 1 b 2 ...b n ) uma palavra finita no alfabeto {0, 1, 2, ..., 9}. Prove que existe um conjunto
residual de pontos x ∈ [0, 1[ tais que a representação em base 10 de x contém a palavra b uma
infinidade de vezes (no sentido em que, se x é da forma 0.x 1 x 2 x 3 ...x k ..., existem uma infinidade de
k ≥ 0 tais que (x k+1 x k+2 ...x k+n ) = (b 1 b 2 ...b n )). Prove que existe um conjunto residual de pontos
x ∈ [0, 1[ tais que a representação em base 10 de x contém todas as palavras finitas no alfabeto
{0, 1, 2, ..., 9} uma infinidade de vezes. Dê exemplos.
(Emile Borel provou um teorema muito mais forte: o conjunto dos números x ∈ [0, 1[ tais que
a representação em base 10 de x contém cada palavra finita b com frequência assimptótica igual a
1 sobre o comprimento de b tem probabilidade (medida de Lebesgue) igual a 1. Veja a observação
sobre números normais no capítulo sobre a ergodicidade.)
Transformações expansoras do círculo Seja λ um inteiro tal que |λ| > 1. A transformação
expansora standard de grau λ é a transformação ×λ : R/Z → R/Z, definida por
x + Z ↦→ λ · x + Z
A transformação ×λ é topologicamente mixing. De fato, todo aberto não vazio U ⊂ R/Z
contêm um intervalo I de comprimento |I| > |λ| −n , para algum n suficientemente grande, e
(×λ) k (I) = R/Z para todo tempo k ≥ n.
A transformação ×λ tem um conjunto enumerável e denso de pontos periódicos.
A transformação ×λ é um fator do shift de Bernoulli sobre um alfabeto de |λ| letras (e o
conjunto onde a semicojugação falha de ser injetiva é pequeno!).
As transformações expansoras, além de pontos periódicos densos e de órbitas densas, admitem
trajetórias que se acumulam em conjuntos bem mais complicados. Por exemplo, a transformação
×3 preserva o conjunto de Cantor standard K (pensado como um subconjunto do círculo), i.e.
×3(K) ⊂ K. Agora, a restrição ×3 | K : K → K é topologicamente conjugada ao shift de Bernoulli
σ : Σ + → Σ + sobre o alfabeto {0, 2} (quase!, de fato é um fator, pois a semiconjugação obvia não
é injetiva no ponto (2, 2, 2, 2, ...), que é igual a (0, 0, 0, 0, ...) mod 1), que é topologicamente mixing,
logo existem (e muitos!) pontos de K ⊂ R/Z cuja ×3-órbita é densa em K.
Transformações expansoras não lineares. Seja agora f : R/Z → R/Z uma transformação
expansora de classe C 1 , ou seja tal que um seu levantamento F : R → R é de classe C 1 . Sendo
F ′ uma função periódica de período um, a expansividade de f implica que existe µ > 1 tal que
|F ′ (x)| > µ em todo x ∈ R, e que F ′ não muda de sinal. Em particular, o grau de f tem módulo
> 1, porque
∫ 1
∫ 1
|deg(f)| = |F (1) − F (0)| =
∣ F ′ (t)dt
∣ = |F ′ (t)| dt > 1.
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Teorema. Toda transformação expansora f : R/Z → R/Z de classe C 1 e grau λ é topologicamente
conjugada à transformação expansora standard ×λ.
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