My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

14 PERDA DE MEMÓRIA E INDEPENDÊNCIA ASSIMPTÓTICA 92
Cantor invariante pela família quadrática. Seja f λ : R → R a transformação definida por
x ↦→ λx (1 − x), onde λ > 0. A trajetória dos pontos x /∈ I = [0, 1] diverge, de fato |fλ n (x)| → ∞
quando n → ∞. O conjunto dos pontos da reta que têm órbitas limitadas é
Λ = ∩ n≥0 f −n
λ
(I)
Se λ > 4, então f −1
λ
([0, 1]) é a reunião disjunta de dois intervalos fechados I 0 e I 1 contidos em
I. Se λ é suficientemente grande, o módulo da derivada f
λ ′ é uniformemente > 1 nos pontos de
I 0 e I 1 . Mostre que, se λ é suficientemente grande, f −(n+1)
λ
(I) é uma reunião disjunta de 2 n+1
intervalos compactos estritamente contidos, em pares, nos 2 n intervalos de f −n
λ
(I). Deduza que Λ
é um conjunto de Cantor, e que a transformação f λ | Λ : Λ → Λ é topologicamente conjugada ao
shift de Bernoulli σ : Σ + → Σ + no alfabeto {0, 1}.
14.5 Transformações expansoras
A dependência sensível das condições iniciais pode ser induzida por propriedades mais fortes. Uma
maneira obvia é “obrigar” f a esticar as distâncias, e isto pode ser feito de muita maneiras.
Transformações expansoras. Uma transformação contínua f : X → X é expansiva se existe
δ > 0 tal que para todos x, x ′ ∈ X distintos existe um tempo n ≥ 0 tal que
d(f n (x), f(x ′ )) > δ
Uma transformação contínua f : X → X é expansora se existem µ > 1 e ε > 0 tais que para
todos x, x ′ ∈ X distintos com d(x, x ′ ) < ε
d(f(x), f(x ′ )) > µ · d(x, x ′ )
Esta é uma condição local, porque se ε fosse infinito nenhum espaço compacto admitiria transformações
expansoras. Por outro lado, é precisamente nos espaços compactos que a expansividade
causa recorrências interessantes das trajetórias: os pontos querem fugir uns dos outros, mas não
têm muito espaço por onde ir, e acabam se reencontrando de vez em quando...
A existência de transformações expansoras implica fortes restrições topológicas sobre o espaço
X. Se X é uma variedade, o recobrimento universal de X tem que ser R n e o grupo fundamental
de X não pode ser arbitrário. Por exemplo, entre as superfícies fechadas e orientáveis, só o toro
admite transformações expansoras!
Exercício. Dê exemplos de transformações expansoras de R, de R/Z e de R 2 /Z 2 .
Desafios.
• Prove que não existe nenhuma transformação expansiva f : I → I definida num intervalo
compacto I ⊂ R. Observe que uma tal transformação seria localmente injetiva, logo estritamente
crescente ou decrescente...
• Uma transformação expansora de um espaço compacto pode ser um homeomorfismo A
resposta é sim, mas só se o espaço compacto tiver cardinalidade finita! Arranjar um exemplo
não é difícil. Por outro lado, mostrar que um espaço compacto e infinito não admite
homeomorfismos expansores não é trivial...
Expansão decimal. Seja F a função x ↦→ 10 · x definida na reta real. Mostre que ela “induz”
uma transformação contínua f : R/Z → R/Z do círculo, por meio de
f (x + Z) = F (x) + Z
(ou seja, mostre que esta expressão é indepedente do representante x escolhido para o ponto x + Z
do círculo, e mostre que f é contínua).
Mostre que f é expansora, se o círculo é munido da métrica standard herdada da métrica
euclidiana da reta. (Observe que, se d(x, x ′ ) < 1/20, então d(f(x), f(x ′ )) = 10 · d(x, x ′ ) ...)