My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

14 PERDA DE MEMÓRIA E INDEPENDÊNCIA ASSIMPTÓTICA 91
Middle-third Cantor set.
set”)
O arquétipo é o conjunto de Cantor standard (“middle-third Cantor
K =
{ ∞
∑
n=1
x n
3 n com x n ∈ {0, 2}
}
⊂ [0, 1]
o conjunto dos números entre 0 e 1 cuja representação em base 3 utiliza só as letras 0 e 2.
Outra definição é K = [0, 1]\∪ ∞ k=1 I k , onde os intervalos abertos I k são definidos iterativamente
da seguinte maneira: I 1 é o terço central ]1/3, 2/3[ de [0, 1], I 2 e I 3 são os terços centrais dos
intervalos de [0, 1] \ I 1 , a saber ]1/9, 2/9[ e ]7/9, 8/9[, ...etc.
Mais uma definição é K = ∩ k≥0 K n , onde
K n =
{ ∞
∑
n=1
x n
3 n com x 1, x 2 , ..., x k ∈ {0, 2} e x i ∈ {0, 1, 2} se i > k
Observe que ... ⊂ K n+1 ⊂ K n ⊂ ... ⊂ K 0 = [0, 1], e que cada K n é uma reunião disjunta de 2 n
intervalos fechados de comprimento 3 −n . Em particular, K é compacto, pois é uma interseção
enumerável de compactos encaixados.
As estranhas propriedades do conjunto de Cantor tem demonstrações muito simples observando
que K é homeomorfo ao produto topológico {0, 2} N , i.e. ao espaço do deslocamentos de Bernoulli
num alfabeto de duas letras. O homeomorfismo é simplesmente
{0, 2} N ∋ x = (x 1 , x 2 , ..., x n , ...) ↦→
∞∑
x n /3 n ∈ K
K não tem pontos isolados, e portanto K ′ = K, i.e. é perfeito. De fato, um ponto x ∈
K pertençe a uma interseção ∩ n≥1 J n , onde J n = [a n , b n ] são certas componentes conexas dos
compactos K n . Logo, pelo menos as duas sucessões distintas (a n ) e (b n ) de pontos de K convergem
para x, pois |b n − a n | = 3 −n → 0 quando n → ∞.
A componente conexa de todo ponto x ∈ K é {x}, i.e. K é totalmente desconexo. De fato,
sejam x e x ′ dois pontos distintos de K. Se n é suficientemente grande, i.e. se 3 −n < d (x, x ′ ), os
pontos x e x ′ estão em duas componentes conexas distintas de K n .
A função {0, 2} N → {0, 2} N × {0, 2} N definida por
n=1
(x 1 , x 2 , ..., x n , ...) ↦→ ((x 1 , x 3 , ..., x 2n−1 , ...), (x 2 , x 4 , ..., x 2n , ...))
induz um homeomorfismo de K sobre K × K. Por indução, vê-se que K é homeomorfo a K n para
todo n ∈ N. De fato, não é difícil provar que K é homeomorfo a K N .
Observe que {0, 2} N é homeomorfo a {0, 1} N , e que a representação binária dos reais entre
0 e 1 é uma aplicação contínua de {0, 1} N sobre o intervalo [0, 1]. Portanto, existe uma função
contínua de K sobre o intervalo [0, 1], e em particular, pelo teorema de Schröder-Bernstein, K tem
a cardinalidade do intervalo.
Outra propriedade muito apreciada do conjunto de Cantor é a “auto-similaridade”. Assim
como um intervalo compacto da reta é homeomorfo a todo seu subintervalo (não trivial) compacto,
o conjunto de Cantor K contém muitos subconjuntos próprios homeomorfos a K. Por exemplo,
a aplicação x ↦→ 3x define um homeomorfismo de K ∩ [0, 1/3] sobre K (isto não é casual, mas
tem muito a ver com a dinâmica da transformação ×3 no círculo). De fato, todo aberto não vazio
do conjunto de Cantor contém uma “cópia” do próprio conjunto. Formalmente, todo intervalo
aberto da reta I tal que I ∩ K ≠ ∅ contém um subconjunto J ⊂ I ∩ K homeomorfo a K. Pois,
se um intervalo aberto contém um ponto de K, então contém pelo menos uma das componentes
conexas de K n , digamos J n = [a n , b n ], desde que n seja suficientemente grande. Não é difícil depois
arranjar um homeomorfismo (por exemplo afim, da forma x ↦→ 3 n (x − a n )) de J n sobre K.
O “comprimento” (i.e. a medida de Lebesgue) de K é
|K| = lim
n→∞ |K n| = lim
n→∞ 2n · 3 −n = 0 .
O conjunto de Cantor é “muito pequeno”, mesmo tendo “o mesmo número de pontos” do intervalo!
}