My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

14 PERDA DE MEMÓRIA E INDEPENDÊNCIA ASSIMPTÓTICA 90
• Seja Σ = X Z , o espaço das palavras infinitas x = (..., x −2 , x −1 , x 0 x 1 , x 2 , ..., x n , ...) nas letras
do alfabeto finito X = {1, 2, ..., z}, munido da topologia produto. Verifique que o shift
σ : Σ → Σ, definido por (σ (x)) k
= x k+1 , é um homeomorfismo.
Determine a cardinalidade de Fix (σ n ), e prove que os pontos periódicos são densos em Σ.
Prove que σ : Σ → Σ é topologicamente mixing.
Cadeias de Markov topológicas e codificação. A restrição do shift σ a um subconjunto
invariante de Σ + (ou Σ) é dita um sistema dinâmico simbólico. A maneira mais simples de produzir
subconjuntos invariantes é por meio de matrizes de transição (a ideia vem da teoria das cadeias de
Markov). Seja A = (a ij ) uma ”matiz de transição”, ou seja uma matriz z × z com entradas 0 ou
1. Seja
Σ + A = { x ∈ Σ + t.q. a xnx n+1
= 1 ∀ n ≥ 0 }
E facil de ver que σ ( Σ + ) A ⊂ Σ
+
A . A restrição σ A = σ ∣ Σ
+ : Σ + A → Σ+ A é dita cadeias de Markov
A
topológicas (ou subshift of finite type). A ideia é que o alfabeto representa os possíveis ”estados”
do sistema, e a “transição” entre o estado i e o estado j é possível se a ij = 1.
Uma palavra finita x 1 , x 2 , ..., x n é admissivel se a xk x k+1
= 1 para todos k = 1, 2, ..., n − 1,
i.e. se é um pedaço de uma história possível do estado x 1 . O número de palavras admissiveis de
comprimento n + 1 que começam pela letra i e terminam pela letra j é igual a (A n ) ij
. Isto mostra
que |Fix (σA n)| = trAn . Este número pode ser estimado utilizando o teorema de Perron-Frobenius.
A cadeia de Markov topológica σ A é dita transitiva se existe um tempo k ≥ 1 tal que todas as
entradas de A k (e portanto as entradas de A n se n ≥ k) são positivas. O resultado relevante é que
uma cadeia de Markov topológica transitiva é topologicamente mixing, e tem órbitas periódicas
densas.
Os sistemas dinâmicos simbólicos são modelos abstratos de sistemas dinâmicos. Uma das
ideias centrais da teoria é procurar “codificar” um sistema ”concreto” f : X → X com um sistema
simbólico. Uma estratégia possível é dividir X em subconjuntos fechados B 1 , B 2 , ..., B z tais que a
historia de todo x ∈ X, definida por (x 0 , x 1 , x 2 , ..., x n , ...) onde x n = i sse f n (x) ∈ B i , determina
univocamente o ponto x. Então, se A = (a ij ) é a matriz de 0 e 1’s definida por a ij = 1 se
B j ⊂ f(B i ), e se f é suficientemente “desordenada”, a cada história (x 0 , x 1 , x 2 , ..., x n , ...) ∈ Σ + A
corresponde um único ponto x = ∩ ∞ n=0f −n (B xn ). A esperança é que f seja conjugado a σ A . Se
X é conexo, os B i têm que ter interseções não vazias, e portanto a correspondência entre Σ + A e
X não pode ser biunívoca. Mesmo assim, fora das histórias ambíguas, a dinâmica de f é descrita
pela dinâmica de σ.
Transformação de padeiro. A transformação do padeiro é f : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] × [0, 1]
definida por
{ (2x, y/2) se 0 ≤ x ≤ 1/2
(x, y) ↦→
(2x − 1, (y + 1) /2) se 1/2 < x ≤ 1
Discuta a sua dinâmica. Considere o shift de Bernoulli σ : Σ → Σ no produto cartesiano Σ =
{0, 1} Z . Mostre que a aplicação h : Σ → [0, 1] × [0, 1] definida por
( ∞
)
∑ x ∞ −n
x = (..., x −2 , x −1 , x 0 x 1 , x 2 , ..., x n , ...) ↦→
2 n , ∑ x n
2 n
é uma semiconjugação entre σ e f. Deduza ...
n=0
n=1
14.4 Conjuntos de Cantor
As aderências das órbitas de transformações suficientemente “desordenadas” podem ter uma estrutura
complicada, e, se forem desconexas, são tipicamente conjuntos de Cantor. Um conjunto de
Cantor é um espaço métrico compacto, perfeito e totalmente desconexo.