My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

14 PERDA DE MEMÓRIA E INDEPENDÊNCIA ASSIMPTÓTICA 89
14.3 Dinâmica dos deslocamentos de Bernoulli
O deslocamento de Bernoulli σ : Σ + → Σ + sobre um alfabeto finito X = {1, 2, ..., z} é o protótipo
de uma transformação topologicamente mixing, e tem todas as propriedades típicas desta classe
de transformações.
Uma base da topologia produto em Σ + = X N é a família dos “cilindros centrados”, a família
dos subconjuntos C α = {x = (α, ∗)} =“palavras infinitas que começam pela palavra α”, ao variar
α entre todas as palavras finitas nas letras do alfabeto X. Ora, se U ⊂ Σ + é um aberto não vazio,
existe um cilindro centrado C α ⊂ U, e, se |α| denota o comprimento da palavra α, é imediato ver
que σ n (C α ) = Σ + para todo n ≥ |α|, logo a fortiori σ n (U) interseta todo aberto não vazio a partir
do tempo |α|. Isto prova que σ é topologicamente mixing.
Sendo σ topologicamente mixing, logo +transitiva, um ponto genérico de Σ + tem órbita densa.
Uma curiosidade é que neste exemplo é de fato imediato “construir” um ponto com órbita
densa. Basta enumerar o conjunto das palavras finitas nas letras de X, por exemplo α 1 , α 2 , α 3 , ...
, e depois observar que a trajetória do ponto x = (α 1 , α 2 , α 3 , ...) passa por todos os elementos da
base da topologia.
Menos obvio é construir um ponto x tal que ω σ (x) = Σ + , que também sabemos ser uma
propriedade genérica! Um exemplo é o ponto
x = (α 1 , α 1 , α 2 , α 1 , α 2 , α 3 , α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , ...)
cuja trajetória passa infinitas vezes por todos os elementos da base da topologia.
O shift de Bernoulli tem também muitos pontos periódicos. Per f é um conjunto enumerável e
denso em Σ + . De fato, dada uma palavra finita α arbitrária, o ponto x = (α, α, α, ...) é periódico,
e o seu período é um inteiro positivo que divide |α|. Isto prova que a cardinalide de Fix (σ n ) é igual
a cardinalidade das palavras de comprimento n nas letras do alfabeto X. Além disso, todo cilindro
centrado contém um ponto periódico, pois C α contém (α, α, α, ...), logo os pontos periódicos são
densos em Σ + .
Além de pontos periódicos e de pontos cuja órbita é densa, o shift de Bernoulli admite pontos
cuja órbita é densa em subconjuntos próprios de Σ + . Por exemplo, a restrição de σ ao subconjunto
(X\ {1}) N ⊂ Σ + formado pelas palavras infinitas que não contêm a letra “1” é uma transformação
topologicamente mixing (basta repetir a demonstração anterior), logo um ponto genérico x ∈
(X\ {1}) N tem órbita densa em (X\ {1}) N ...
Exercícios.
• Discuta em detalhes a dinâmica do deslocamento de Bernoulli. Considere o produto cartesiano
Σ + = X N , onde X = {1, 2, ..., z} é um alfabeto finito. Verifique que a familia dos
cilindros centrados é uma base de uma topologia em Σ + , dita topologia produto.
Verifique que o shift de Bernoulli σ : Σ + → Σ + sobre um alfabeto finito é uma transformação
contínua
(observe que a imagem inversa de um cilindro centrado é uma reunião finita de z cilindros
centrados, e deduza que a imagem inversa de um aberto é um aberto).
Prove que σ : Σ + → Σ + é uma transformação expansora se a métrica em Σ + é definida por
d(x, x ′ ) = ∑ ∞
n=1 λ−n · |x n − x ′ n|, onde λ > 1.
Mostre que |Fix(σ n )| = |X| n .
Mostre que todo cilindro centrado de Σ + contém um ponto periódico de σ, e que portanto o
conjunto dos pontos periódicos Per σ é denso em Σ + .
Prove que σ : Σ + → Σ + é topologicamente mixing.
Dê exemplos de pontos x ∈ Σ + tais que ω σ (x) = X.
De exemplos de pontos não pré-periódicos x ∈ Σ + tais que tais que a aderência da órbita
O + σ (x) seja um subconjunto próprio de Σ + .