My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

14 PERDA DE MEMÓRIA E INDEPENDÊNCIA ASSIMPTÓTICA 88
Cobweb diagram of the tent map.
A iteração de T é simples, pois a composição de duas transformações afins é uma transformação
afin.
Não é difícil provar por indução que em cada um dos intervalos I k,n = [ ]
k
2
, k+1
n 2 com k =
n
0, 1, 2, ..., 2 n − 1 a transformação T n tem a forma
{
x ↦→ T n 2
(x) =
n x + k se k é par
−2 n x + k + 1 se k é impar
Em particular, T n é uma bijeção estritamente crescente ou decrescente de I k,n sobre o intervalo
[0, 1]. O teorema de ponto fixo implica que T n tem um e um único ponto fixo em cada um dos
intervalos I k,n (que é repulsivo, pois a derivada de T n é 2 n > 1, e só coincide com um dos extremos
quando k = 0), e portanto que |Fix(T n )| = 2 n . Além disso, sendo que todo aberto não vazio
U ⊂ [0, 1] contém um dos intervalos I k,n se n é suficientemente grande, os pontos periódicos de T
são densos no intervalo [0, 1].
A transformação T é topologicamente mixing. De fato, todo aberto não vazio U ⊂ [0, 1] contém
um dos intervalos I k,n com n suficientemente grande, logo T n (U) = [0, 1] e portanto T k (U) = [0, 1]
para todo tempo k ≥ n porque T é sobrejetiva. Isto implica que T k (U) ∩ V ≠ ∅ para todo tempo
k ≥ n e para todo aberto não vazio V ⊂ [0, 1]. Portanto existe um conjunto residual (i.e. grande!)
de pontos x tais que ω f (x) = [0, 1], ou seja cuja trajetória é essencialmente imprevisível!
Exercícios.
• Verifique que h : x ↦→ sin 2 (πx/2) realiza uma conjugação topológica entre a transformação
tenda T e a transformação f 4 : [0, 1] → [0, 1] da família quadrática, definida por f 4 (x) =
4x (1 − x). Deduza ....
• Discuta a dinâmica da transformação S : [0, 1] → [0, 1] definida por
{
2x se x < 1/2
S(x) =
2x − 1 se x ≥ 1/2
Cuidado, S não é contínua!, mas não é muito diferente da transformação tenda...