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14 PERDA DE MEMÓRIA E INDEPENDÊNCIA ASSIMPTÓTICA 86 14 Perda de memória e independência assimptótica 14.1 Órbitas desordenadas Dicotomia: pontos regulares ou não regulares. Seja f : X → X uma transformação do espaço métrico (X, d). As iterações de f dividem de maneira natural o espaço X em duas classes de pontos, dependendo se as órbitas são “estáveis” ou “instáveis” por pequenas perturbações da condição inicial. O ponto x ∈ X é regular se a família de transformações {f n } n∈N0 é equicontínua em x, ou seja, se para todo ε > 0 existe uma vizinhança B de x tal que para todo x ′ ∈ B e todo tempo n ≥ 0 d (f n (x) , f n (x ′ )) < ε Do ponto de vista físico isto quer dizer que, se os instrumentos têm sensibilidade ε, as trajetórias de apenas um ponto em cada ε-bola são suficientes para descrever todas as trajetórias dos pontos regulares. Em particular, se X é compacto e todo ponto é regular, um número finito de trajetórias descreve o comportamento de todas as trajetórias a menos de um erro ε, por tempos arbitrariamente grandes. O ponto x ∈ X não é regular se existe δ > 0 tal que para quaisquer vizinhança B de x existem x ′ ∈ B e um tempo n ≥ 0 tais que d (f n (x) , f n (x ′ )) > δ O significado desta condição é que f “tem dependência sensível das condições iniciais” nas vizinhanças de x. Num certo sentido, as trajetórias de pontos numa vizinhança arbitrária de x “perdem memória” de x. Dependência sensível das condições iniciais. Se o conjunto dos pontos não regulares for compacto, o δ acima pode ser escolhido independente do ponto. Isto sugere a seguinte definição. A transformação f : X → X tem dependência sensível das condições iniciais se todos os pontos de X são “uniformemente” não regulares, ou seja, se existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X e toda vizinhança B de x, existem x ′ ∈ B e um tempo n ≥ 0 tais que d (f n (x ′ ) , f n (x)) > δ O significado físico deste fenómeno é: não inporta quanto pequena seja a sensibilidade ε dos nossos instrumentos, as trajetórias de dois pontos x e x ′ que nos consideramos “indistinguíveis” (ou seja a distância d(x, x ′ ) < ε) distam mais de um certo δ, independente de ε, passado um certo tempo n. Conjuntos de Julia e de Fatou. A dicotomia acima é particularmente significativa para os endomorfismos da esfera de Riemann C = C∪{∞}, as transformações racionais f : C→C, definidas por z ↦→ f(z) = p (z) /q (z) onde q e q são polinómios. Um ponto z ∈ C é dito “regular” se admite uma vizinhança U tal que a família {f n | U } n≥1 é uma família normal (i.e. toda sucessão de elementos da família admite uma subsucessão localmente uniformemente convergente). O conjunto F dos pontos regulares, que é um subconjunto aberto da esfera de Riemann, é dito conjunto de Fatou. O conjunto complementar, o fechado J = C\F , é dito conjunto de Julia. O conjunto de Julia é onde acontece a dinâmica “desordenada” de f. Se a transformação é da forma f (z) = z n com n > 1 (ou conformemente conjugada a um polinómio deste tipo), então J é um círculo. Se f é mais complicado, acontece que J é tipicamente um conjunto muito irregular: um conjunto de Cantor, uma curva não retificável de dimensão de Hausdorff > 1, ou um conjunto ainda mais esquisito. O estudo destes fenómenos começou por volta de 1918-19, com os trabalhos de Gaston Julia e Pierre Fatou. A compreensão da dinâmica dos endomorfismos da esfera de Riemann (devida essencialmente às técnicas disponíveis de análise complexa) é um dos maiores sucessos da moderna teoria dos sistemas dinâmicos. Uma introdução excelente está nas notas de John Milnor, Dynamics in one complex variable, IMS-SUNY Stony Brook 1990.
14 PERDA DE MEMÓRIA E INDEPENDÊNCIA ASSIMPTÓTICA 87 14.2 Mixing topológico Transformações mixing. A transformação f : X → X é topologicamente mixing (ou seja, “misturadora”) se para cada dois abertos não vazios U, V ⊂ X existe um tempo n ≥ 0 tal que para todo tempo k ≥ n f k (U) ∩ V ≠ ∅ (ou seja, basta esperar um certo tempo finito n para ver pontos de U cujas órbitas visitam V ). O mixing topológico captura a ideia de que o futuro f k (U), com k > 1, de cada aberto U é “assimptoticamente independente” do seu presente, pois interseta estavelmente cada outro aberto não vazio V . (mixing ⇒ +transitivo) Uma transformação topologicamente mixing é topologicamente +transitiva. Em particular, NW f = X, e ω f (x) = X é uma propriedade genérica. (mixing ⇒ dependência sensível) O mixing topológico é uma propriedade ainda mais forte de que a dependência sensível das condições iniciais. Pois, seja f : X → X uma transformação topologicamente mixing do espaço métrico (X, d) com pelo menos dois pontos, e sejam U e V dois abertos disjuntos a distância > 2δ, com δ > 0. Dado x ∈ X, a órbita de toda vizinhança B de x interseta os dois abertos a partir de um certo tempo n ≥ 0, e portanto existe um ponto x ′ ∈ B tal que d (f n (x ′ ) , f n (x)) > δ. Em particular, uma isometria não pode ser topologicamente mixing. Desafios. • Existe um homeomorfismo minimal (portanto topologicamente transitivo) que não é topologicamente mixing • Existe uma transformação topologicamente transitiva que não é nem minimal nem topologicamente mixing • Uma transformação f : X → X é dita weakly mixing se a ”transformação produto” f × f : X × X → X × X, definida por (x, x ′ ) ↦→ (f (x) , f (x ′ )) é topologicamente mixing. Mostre que uma transformação weak mixing (de um espaço X que contém mais do que um ponto) tem dependência sensível das condições iniciais. Mostre que todas as iteradas f n de uma transformação weak mixing de um espaço compacto são +transitivas. Prove que mixing ⇒ weak mixing ⇒ + transitivo e dê exemplos que mostram que as implicações contrárias são falsas. Transformação tenda. por A transformação tenda 28 é a transformação T : [0, 1] → [0, 1] definida T (x) = { 2x se x < 1/2 2 − 2x se x ≥ 1/2 28 Um padeiro estica, dobra e amassa repetidamente a sua massa com o objetivo de ”misturar”, ou seja de chegar a ter uma mistura de farinha e água e outros ingredientes que seja o quanto mais possível homogénea... Isto é mais ou menos o que faz a transformação tenda. Por alguma razão, o nome de transformação do padeiro é reservado ao seu análogo bidimensional e invertível.
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