My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

14 PERDA DE MEMÓRIA E INDEPENDÊNCIA ASSIMPTÓTICA 86
14 Perda de memória e independência assimptótica
14.1 Órbitas desordenadas
Dicotomia: pontos regulares ou não regulares. Seja f : X → X uma transformação do
espaço métrico (X, d). As iterações de f dividem de maneira natural o espaço X em duas classes
de pontos, dependendo se as órbitas são “estáveis” ou “instáveis” por pequenas perturbações da
condição inicial.
O ponto x ∈ X é regular se a família de transformações {f n } n∈N0 é equicontínua em x, ou seja,
se para todo ε > 0 existe uma vizinhança B de x tal que para todo x ′ ∈ B e todo tempo n ≥ 0
d (f n (x) , f n (x ′ )) < ε
Do ponto de vista físico isto quer dizer que, se os instrumentos têm sensibilidade ε, as trajetórias
de apenas um ponto em cada ε-bola são suficientes para descrever todas as trajetórias dos pontos
regulares. Em particular, se X é compacto e todo ponto é regular, um número finito de trajetórias
descreve o comportamento de todas as trajetórias a menos de um erro ε, por tempos arbitrariamente
grandes.
O ponto x ∈ X não é regular se existe δ > 0 tal que para quaisquer vizinhança B de x existem
x ′ ∈ B e um tempo n ≥ 0 tais que
d (f n (x) , f n (x ′ )) > δ
O significado desta condição é que f “tem dependência sensível das condições iniciais” nas vizinhanças
de x. Num certo sentido, as trajetórias de pontos numa vizinhança arbitrária de x
“perdem memória” de x.
Dependência sensível das condições iniciais. Se o conjunto dos pontos não regulares for
compacto, o δ acima pode ser escolhido independente do ponto. Isto sugere a seguinte definição.
A transformação f : X → X tem dependência sensível das condições iniciais se todos os pontos
de X são “uniformemente” não regulares, ou seja, se existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X e toda
vizinhança B de x, existem x ′ ∈ B e um tempo n ≥ 0 tais que
d (f n (x ′ ) , f n (x)) > δ
O significado físico deste fenómeno é: não inporta quanto pequena seja a sensibilidade ε dos nossos
instrumentos, as trajetórias de dois pontos x e x ′ que nos consideramos “indistinguíveis” (ou seja
a distância d(x, x ′ ) < ε) distam mais de um certo δ, independente de ε, passado um certo tempo
n.
Conjuntos de Julia e de Fatou. A dicotomia acima é particularmente significativa para os
endomorfismos da esfera de Riemann C = C∪{∞}, as transformações racionais f : C→C, definidas
por
z ↦→ f(z) = p (z) /q (z)
onde q e q são polinómios. Um ponto z ∈ C é dito “regular” se admite uma vizinhança U tal que a
família {f n | U } n≥1 é uma família normal (i.e. toda sucessão de elementos da família admite uma
subsucessão localmente uniformemente convergente). O conjunto F dos pontos regulares, que é um
subconjunto aberto da esfera de Riemann, é dito conjunto de Fatou. O conjunto complementar,
o fechado J = C\F , é dito conjunto de Julia. O conjunto de Julia é onde acontece a dinâmica
“desordenada” de f. Se a transformação é da forma f (z) = z n com n > 1 (ou conformemente
conjugada a um polinómio deste tipo), então J é um círculo. Se f é mais complicado, acontece que
J é tipicamente um conjunto muito irregular: um conjunto de Cantor, uma curva não retificável
de dimensão de Hausdorff > 1, ou um conjunto ainda mais esquisito. O estudo destes fenómenos
começou por volta de 1918-19, com os trabalhos de Gaston Julia e Pierre Fatou. A compreensão da
dinâmica dos endomorfismos da esfera de Riemann (devida essencialmente às técnicas disponíveis
de análise complexa) é um dos maiores sucessos da moderna teoria dos sistemas dinâmicos. Uma
introdução excelente está nas notas de John Milnor, Dynamics in one complex variable, IMS-SUNY
Stony Brook 1990.