My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

13 HOMEOMORFISMOS DO CÍRCULO 85
dem. Pelo lema de Zorn, a família dos subconjuntos não vazios do círculo que são compactos
e invariantes, parcialmente ordenada pela inclusão, admite um elemento minimal K. Pela
minimalidade, a órbita de todo ponto de K é densa em K. A fronteira ∂K e o conjunto derivado
K ′ são compactos, invariantes e contidos em K, logo têm que ser vazios ou iguais a K. O
homemorfismo não tem pontos periódicos, logo K não pode ser finito. Pelo teorema de Bolzano-
Weierstrass K ′ ≠ ∅, logo K ′ = K, i.e. K é perfeito. Se ∂K = ∅, então K = R/Z e portanto f
é minimal. Se, por outro lado, ∂K = K, então K tem interior vazio. Seja x ∈ (R/Z) \K e seja
I a componente conexa de (R/Z) \K que contém x. As imagens f n (I) são dois a dois disjuntas
(sempre porque f não tem pontos periódicos), e portanto diam (f n (I)) → 0 quando n → ∞. Se
x ′ ∈ ∂I ⊂ K, então ω f (x ′ ) = K, e a observação anterior implica que também ω f (x) = K, pois
d (f n (x), f n (x ′ )) ≤ diam (f n (I)) → 0 quando n → ∞. Em particular, isto mostra que o conjunto
minimal K é único.
Mais interessante ainda é o seguinte resultado.
Teorema de classificação de Poincaré. Seja f : R/Z → R/Z um homeomorfismo do círculo
(que preserva a orientação) com número de rotação irracional.
i) Se f é minimal, então f é topologicamente conjugado à rotação +ρ (f).
ii) Se f não é minimal, então a rotação +ρ (f) é um fator de f.
Se f é minimal, podemos construir uma conjugação H entre uma órbita de f e uma órbita de
+ρ (f), e depois definir uma conjugação h : R/Z → R/Z por continuidade, utilizando o fato das
órbitas serem densas. Isto é possível porque as órbitas de f têm “a mesma ordem” das órbitas de
+ρ (f). Se f não é minimal, é possível construir uma semiconjugação h : R/Z → R/Z tal que o
próprio R/Z seja a imagem h (K) do conjunto minimal de f. De alguma maneira, a semiconjugação
“esquece” (R/Z) \K, o conjunto errante de f.
13.3 Difeomorfismos do círculo e teorema de Denjoy
Um homeomorfismo f : R/Z → R/Z com número de rotação irracional pode não ser minimal,
logo ter um conjunto não errante (R/Z) \K, composto por intervalos abertos I com imagens f n (I)
disjuntas. Se f é de classe C 1 , um controle sobre a derivada f ′ e o teorema do valor médio ajudam
a estimar os comprimentos dos f n (I). O resultado, obtido por Arnaud Denjoy nos anos ’30, é o
seguinte.
Teorema de Denjoy. Um homeomorfismo f : R/Z → R/Z com número de rotação irracional,
de classe C 1 e com derivada de variação limitada, é minimal, e portanto topologicamente conjugado
à rotação +ρ (f).
A ideia é provar que, se f ′ tem variação limitada e I é um “intervalo errante”, os comprimentos
dos f n (I) são uniformemente > ε para algum ε > 0. Sendo disjuntos, isto leva a um absurdo. O
próprio Denjoy mostrou como construir homeomorfismos de classe C 1 , com derivada f ′ de classe
α-Holder e α < 1 arbitrário, que têm número de rotação irracional sem seres minimais.
Problema. Discuta a dinâmica da família de tranformações do círculo f α,ε : R/Z → R/Z do it
definidas por
x + Z ↦→ x + α + ε sin (2πx) + Z
2π
ao variar os parâmetros α e ε.