My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

13 HOMEOMORFISMOS DO CÍRCULO 84
O limite τ (F ) não depende do ponto x. Já vimos que |(F n (x) − x) − (F n (x ′ ) − x ′ )| ≤ 1,
portanto
∣ ∣∣∣ F n (x) − x
− F n (x ′ ) + x
n
n ∣ ≤ 1/n
para todos x, x ′ e n. Isto implica que τ (F ) é independente do ponto x escolhido na sua definição.
ρ (f) não depende do levantamento F . Observe que dois levantamentos F e G de f diferem
por um inteiro, ou seja G (x) = F (x) + k para algum k ∈ Z. Isto implica que τ (F ) = τ (G) + k,
pois G n (x) − x = F n (x) − x + nk. Portanto o número de rotação ρ (f) está bem definido, não
depende do levantamento escolhido.
ρ (f) é invariante para conjugações topológicas. Seja h : R/Z → R/Z uma conjugação
entre os homeomorfismos f e g. Se H é um levantamento de h e F é um levantamento de f,
é imediato verificar que H ◦ F ◦ H −1 é um levantamento de g. Não é difícil mostrar que a
diferença ( H ◦ F ◦ H −1) n
(x) − F n (x) é limitada, independentemente de x e de n. Basta observar
que ( H ◦ F ◦ H −1) n
= H ◦ F n ◦ H −1 , que |H (x) − x| e ∣ ∣H −1 (x) − x ∣ são limitados por uma
constante independente de x, e utilizar a desigualdade do triângulo. Isto implica que τ (F ) =
τ ( H ◦ F ◦ H −1) , e portanto que ρ (f) = ρ (g).
Exercícios.
• Determine o número de rotação de uma rotação do círculo.
• Seja f um homeomorfismo do círculo. Mostre que ρ (f q ) = q · ρ (f) mod Z. (Observe que, se
F é um levantamento de f, então F q é um levantamento de f q ...)
13.2 Teorema de classificação de Poincaré
O número de rotação contém a seguinte informação acerca da dinâmica de f.
Teorema.
O número de rotação ρ (f) é racional sse f tem pontos periódicos.
dem. ⇐ Se F q (x) = x + p com q e p inteiros, então F nq (x) − x = np para todo n, e portanto
τ (F ) = p/q.
⇒ Observando que ρ (f q ) = q · ρ (f) mod Z, basta provar que ρ (f) = 0 implica que f tem um
ponto fixo. Se f não tem pontos fixos, então a função F − id tem valores em R\Z. Em particuar,
existe um levantamento tal que F −id tem valores no intervalo ]0, 1[ (porque F −id é contínua e o seu
domínio é conexo). Observando que F −id é periódica de período um, deduzimos que o seu máximo
e o seu mínimo são diferentes de 1 e 0 respetivamente, i.e. existe ε > 0 tal que ε < F (x) < 1 − ε
para todo x ∈ [0, 1]. Iterando as desigualdades, isto implica que nε < F n (0) < n (1 − ε) e portanto
que τ (F ) não é inteiro.
É possível provar com pouco esforço que, se ρ (f) é racional, então todos os pontos periódicos de
f têm o mesmo período. Portanto, para compreender a estrutura das órbitas de um homeomorfismo
com número de rotação racional é suficiente compreender as órbitas de um homeomorfismo f com
pontos fixos. Se F = Fix (f), então f induzes homeomorfismos em cada componente conexa I de
(R/Z) \F . As imagens f n (x) dos pontos x ∈ I ⊂ (R/Z) \F convergem para pontos de ∂I ⊂ F
quando n → ±∞. A estrutura de F é arbitrária: todo subconjunto compacto do círculo é o
conjunto dos pontos fixos de um homeomorfismo.
A dinâmica dos homeomorfismos com número de rotação irracional é descrita pelo seguinte
resultado.
Teorema de Poincaré. Seja f : R/Z → R/Z um homeomorfismo do círculo (que preserva a
orientação) com número de rotação irracional. Então
i) ou f é minimal, i.e. a órbita de todo ponto é densa no círculo,
ii) ou existe um conjunto invariante K ⊂ R/Z, compacto, perfeito e com interior vazio (i.e.
um conjunto de Cantor), tal que o conjunto ω-limite de todo ponto do círculo é igual a K.