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13 HOMEOMORFISMOS DO CÍRCULO 83
13 Homeomorfismos do círculo
O estudo dos campos de vetores no toro R 2 /Z 2 levou Poincaré a considerar a necessidade de
classificar as possíveis dinâmicas dos homeomorfismos do círculo. Um modelo é constituido pelas
rotações +α, cujo comportamento é determinado pela racionalidade ou menos do “número de
rotação” α. Se α é racional, todo ponto é periódico, logo as órbitas são finitas. Se α é irracional,
o sistema é minimal, e portanto toda órbita é densa. A chave para compreender homeomorfismos
genéricos é a definição de um “invariante” que jogue o papel de α ...
13.1 Número de rotação
Sejam f : R/Z → R/Z um homeomorfismo do círculo, e F : R → R um levantamento de f. A
seguir, assumimos que f “preserva a orientação”, ou seja que deg (f) = 1, e portanto F é uma
função contínua e estritamente crescente que verifica F (x + 1) = F (x) + 1 para todo x ∈ R.
O número de rotação de f é
ρ (f) = τ (F ) mod Z
onde τ (F ) é o número de translação de F , definido por
F n (x) − x
τ (F ) = lim
n→∞ n
onde x é um ponto arbitrário da reta. A prova de que a definição acima faz sentido, e que o número
de rotação é um invariante topológico, está contida nas seguintes observações.
O limite τ (F ) existe. A transformação F e as suas iteradas F n são homeomorfismos crescentes
da reta que satisfazem F n (x + 1) = F n (x) +1 para todo x ∈ R. Em particular, F n − id são funções
periódicas de período um. Isto implica que
max
x,x ′ |(F n (x) − x) − (F n (x ′ ) − x ′ )| ≤ 1
pois, pela periodicidade basta calcular o máximo no intervalo [0, 1], e sabemos que F n é crescente
e que a imagem F n ([0, 1]) é um intervalo de comprimento um. Seja agora a n = F n (x) − x. A
desigualdade acima implica que a sucessão (a n ) é “quase-subaditiva”, i.e. satisfaz
a n+m ≤ a n + a m + c
para todos n, m ≥ 0, onde c é uma constante. De fato,
F n+m (x) − x = F n (F m (x)) − F m (x) + F m (x) − x
= F n (x) − x − F n (x) + x + F n (F m (x)) − F m (x) + F m (x) − x
≤ F n (x) − x + F m (x) − x + 1
e portanto basta escolher c = 1. A existência do limite lim n→∞ a n /n é equivalente à existência do
limite lim n→∞ b n /n, onde b n = a n +c. A sucessão (b n ) é subaditiva, ou seja satisfaz b n+m ≤ b n +b m .
A sucessão (b n ) é crescente, e pela subaditividade satisfaz b n ≤ nb 1 . Portanto, a sucessão (b n /n)
é limitada, logo existe λ =lim n→∞ b n /n. Dado ε > 0, existe um natural N tal que b N /N < λ + ε.
Seja agora n = kN + r, com k inteiro não negativo e 0 ≤ r < N, e seja B = max 1≤i